Номер 292, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

292. а) На рисунке 238, а) площадь закрашенного сектора относится к площади круга как $2 : 9$. Найдите градусную меру угла сектора.

б) На рисунке 238, б) площадь круга составляет $120 \text{ см}^2$. Найдите площадь закрашенного сектора.

в) На рисунке 238, в) дуги $EG$ и $KP$ содержат $60^\circ$ и $120^\circ$ соответственно, площадь незакрашенного сектора $EOG$ равна $90 \text{ см}^2$. Найдите сумму площадей закрашенных секторов $KOE$ и $POG$.

Рис. 238

а) Отношение площади сектора к площади всего круга равно отношению центрального угла этого сектора к полному углу, равному $360°$. Пусть $\alpha$ — искомая градусная мера угла сектора.
Из условия известно, что отношение площади закрашенного сектора к площади круга равно $2:9$.
Составим пропорцию:
$\frac{\alpha}{360°} = \frac{2}{9}$
Выразим и найдем $\alpha$:
$\alpha = \frac{2}{9} \cdot 360° = 2 \cdot 40° = 80°$.
Ответ: $80°$.

б) Площадь сектора ($S_{сектора}$) вычисляется по формуле:
$S_{сектора} = S_{круга} \cdot \frac{\alpha}{360°}$, где $S_{круга}$ — площадь круга, а $\alpha$ — градусная мера угла сектора.
По условию, $S_{круга} = 120$ см², а угол закрашенного сектора $\alpha = 210°$.
Подставим эти значения в формулу:
$S_{сектора} = 120 \cdot \frac{210°}{360°} = 120 \cdot \frac{21}{36} = 120 \cdot \frac{7}{12} = 10 \cdot 7 = 70$ (см²).
Ответ: $70$ см².

в) Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Таким образом, из условия следует, что $\angle EOG = 60°$ и $\angle KOP = 120°$.
Сумма всех центральных углов в круге равна $360°$. Найдем сумму углов закрашенных секторов $KOE$ и $POG$:
$\angle KOE + \angle POG = 360° - (\angle EOG + \angle KOP) = 360° - (60° + 120°) = 360° - 180° = 180°$.
Площадь сектора пропорциональна его углу. Известно, что площадь незакрашенного сектора $EOG$ с углом $60°$ равна $90$ см². Мы можем использовать это для нахождения искомой суммы площадей.
Составим пропорцию:
$\frac{\text{Сумма площадей закрашенных секторов}}{\text{Площадь сектора EOG}} = \frac{\text{Сумма углов закрашенных секторов}}{\text{Угол сектора EOG}}$
$\frac{S_{KOE} + S_{POG}}{90 \text{ см}^2} = \frac{180°}{60°}$
$\frac{S_{KOE} + S_{POG}}{90} = 3$
$S_{KOE} + S_{POG} = 90 \cdot 3 = 270$ (см²).
Ответ: $270$ см².