Номер 289, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

289. а) Найдите площадь кольца, образованного двумя концентрическими окружностями с радиусами $R = 8 \text{ см}$ и $r = 5 \text{ см}$.

б) Дано кольцо (рис. 237). Хорда $\text{AB}$ большей окружности касается меньшей окружности и равна $8 \text{ см}$. Найдите площадь кольца.

Puc. 237

а) Площадь кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна разности площадей большего и меньшего кругов. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Тогда площадь кольца $S_{кольца}$ можно найти по формуле:

$S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

По условию $R = 8$ см и $r = 5$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S_{кольца} = \pi(8^2 - 5^2) = \pi(64 - 25) = 39\pi$ (см²).
Ответ: $39\pi$ см².

б) Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Площадь кольца равна $S = \pi(R^2 - r^2)$.

Обозначим центр окружностей буквой $O$. Хорда $AB$ большей окружности касается меньшей окружности в некоторой точке $C$. Длина хорды $AB = 8$ см.

Проведем радиус $OC$ к точке касания $C$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OC \perp AB$. Длина $OC$ равна радиусу меньшей окружности, $OC = r$.

Проведем радиус $OB$ к концу хорды. Длина $OB$ равна радиусу большей окружности, $OB = R$.

Рассмотрим треугольник $OCB$. Он является прямоугольным, так как $\angle OCB = 90^\circ$.

В окружности перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, $C$ — середина хорды $AB$, и $CB = AB / 2 = 8 / 2 = 4$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OCB$:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

Подставим известные нам величины:

$R^2 = r^2 + 4^2$

$R^2 - r^2 = 16$

Теперь мы можем найти площадь кольца, подставив найденное значение в формулу площади:

$S = \pi(R^2 - r^2) = \pi \cdot 16 = 16\pi$ (см²).
Ответ: $16\pi$ см².