номер 284, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

284. Дуга $AB$ окружности содержит $120^\circ$. Через ее точки $A$ и $B$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (рис. 236). Докажите, что длина окружности, касающейся данной окружности и прямых $AC$ и $BC$, равна длине дуги $AB$.

Рис. 236

Пусть O — центр большой окружности, а R — ее радиус. Пусть O' — центр малой окружности, а r — ее радиус.

Требуется доказать, что длина малой окружности равна длине дуги AB. Длина малой окружности вычисляется по формуле $C_{малой} = 2\pi r$.

Длина дуги AB ($L_{AB}$) с центральным углом $\alpha$ в радианах вычисляется по формуле $L_{AB} = R \cdot \alpha$. Градусная мера дуги AB равна $120^{\circ}$. Переведем это значение в радианы:

$\alpha = 120^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Следовательно, длина дуги AB равна $L_{AB} = R \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi R$.

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $2\pi r = \frac{2}{3}\pi R$, что эквивалентно доказательству соотношения $r = \frac{R}{3}$.

Рассмотрим четырехугольник OACB. Так как AC и BC — касательные к окружности в точках A и B, то радиусы OA и OB перпендикулярны касательным: $\angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}$.

Центральный угол $\angle AOB$ равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $\angle AOB = 120^{\circ}$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^{\circ}$, поэтому найдем угол $\angle ACB$:

$\angle ACB = 360^{\circ} - \angle OAC - \angle OBC - \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

Прямая OC соединяет центр окружности O с точкой пересечения касательных C, поэтому она является биссектрисой угла $\angle ACB$. Следовательно:

$\angle ACO = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC (угол $\angle OAC = 90^{\circ}$). Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\angle ACO) = \frac{OA}{OC} = \frac{R}{OC}$

$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$, поэтому $\frac{1}{2} = \frac{R}{OC}$, откуда $OC = 2R$.

Малая окружность с центром O' касается прямых AC и BC, поэтому ее центр O' также лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$, то есть на прямой OC. Пусть D — точка касания малой окружности с прямой AC. Тогда O'D — радиус, и $O'D \perp AC$. Длина O'D равна r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник O'DC (угол $\angle O'DC = 90^{\circ}$). Аналогично предыдущему шагу:

$\sin(\angle O'CD) = \frac{O'D}{O'C} = \frac{r}{O'C}$

Так как $\angle O'CD = \angle ACO = 30^{\circ}$, получаем $\frac{1}{2} = \frac{r}{O'C}$, откуда $O'C = 2r$.

Точки O, O' и C лежат на одной прямой. Две окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между их центрами OO' равно сумме их радиусов: $OO' = R + r$.

Отрезок OC состоит из двух частей: $OC = OO' + O'C$. Подставим найденные выражения:

$2R = (R + r) + 2r$

$2R = R + 3r$

$R = 3r$, или $r = \frac{R}{3}$.

Мы установили искомое соотношение между радиусами. Теперь найдем длину малой окружности:

$C_{малой} = 2\pi r = 2\pi \left(\frac{R}{3}\right) = \frac{2}{3}\pi R$.

Сравнивая это с длиной дуги AB, $L_{AB} = \frac{2}{3}\pi R$, видим, что они равны.

$C_{малой} = L_{AB}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение радиусов малой и большой окружностей равно $r = R/3$. Длина малой окружности равна $2\pi r = 2\pi(R/3) = \frac{2}{3}\pi R$. Длина дуги AB, составляющей $120^{\circ}$, равна $\frac{120}{360} \cdot 2\pi R = \frac{1}{3} \cdot 2\pi R = \frac{2}{3}\pi R$. Так как обе величины равны $\frac{2}{3}\pi R$, утверждение доказано.