Номер 283, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

283. а) Определите, на сколько увеличится длина $C$ окружности, если ее радиус $R$ увеличить на 1 см.

б) Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус увеличить в 2 раза?

а) Длина окружности $C$ с радиусом $R$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$ . Пусть $C_1$ — начальная длина окружности с радиусом $R$ , тогда $C_1 = 2\pi R$ . Если радиус увеличить на 1 см, то новый радиус будет $R_2 = R + 1$ . Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi(R + 1)$ . Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, найдем разность между новой и старой длинами:
$\Delta C = C_2 - C_1 = 2\pi(R + 1) - 2\pi R = 2\pi R + 2\pi - 2\pi R = 2\pi$ .
Таким образом, длина окружности увеличится на $2\pi$ см, и это увеличение не зависит от первоначального радиуса.
Ответ: на $2\pi$ см.

б) Площадь круга $S$ с радиусом $R$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$ . Пусть $S_1$ — начальная площадь круга с радиусом $R$ , тогда $S_1 = \pi R^2$ . Если радиус увеличить в 2 раза, то новый радиус будет $R_2 = 2R$ . Новая площадь круга $S_2$ будет равна:
$S_2 = \pi R_2^2 = \pi (2R)^2 = \pi \cdot 4R^2 = 4\pi R^2$ .
Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади к начальной:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R^2}{\pi R^2} = 4$ .
Следовательно, площадь круга увеличится в 4 раза.
Ответ: в 4 раза.