Номер 290, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

290. В окружность вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность. Найдите отношение площадей кругов, ограниченных этими окружностями.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $R$ — радиус большей окружности (описанной около квадрата), а $r$ — радиус меньшей окружности (вписанной в квадрат). Площади соответствующих кругов будут $S_R = \pi R^2$ и $S_r = \pi r^2$. Нам необходимо найти отношение $\frac{S_R}{S_r}$.

Пусть сторона квадрата равна $a$.

Рассмотрим меньшую окружность, вписанную в квадрат. Ее диаметр равен стороне квадрата. Таким образом, $2r = a$, откуда находим радиус меньшей окружности: $r = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим большую окружность, описанную около квадрата. Ее диаметр равен диагонали квадрата. По теореме Пифагора, диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.

Поскольку диаметр описанной окружности равен $2R$, мы имеем $2R = d = a\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус большей окружности: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь мы можем найти отношение площадей двух кругов. Оно равно отношению квадратов их радиусов:

$\frac{S_R}{S_r} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2$.

Подставим найденные выражения для $R$ и $r$ через $a$:

$\frac{R}{r} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{a} = \sqrt{2}$.

Тогда искомое отношение площадей равно:

$\frac{S_R}{S_r} = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Таким образом, площадь круга, описанного около квадрата, в два раза больше площади круга, вписанного в тот же квадрат.

Ответ: 2