Номер 297, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

297. Из тонкого металлического круга вырезали правильный треуголь-ник наибольшей площади. Определите, сколько процентов состави-ли отходы. Ответ округлите до 1 %.

Для решения задачи обозначим радиус исходного металлического круга как $R$. Площадь круга, $S_{круга}$, определяется по формуле: $S_{круга} = \pi R^2$.

Правильный треугольник наибольшей площади, который можно вырезать из этого круга, будет вписан в него. Это значит, что все три вершины треугольника лежат на окружности, которая является для него описанной.

Сторона $a$ правильного треугольника связана с радиусом $R$ описанной около него окружности соотношением: $a = R\sqrt{3}$.

Площадь правильного треугольника ($S_{треуг.}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{треуг.} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Выразим площадь треугольника через радиус $R$, подставив в формулу найденное выражение для стороны $a$:
$S_{треуг.} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

Отходы представляют собой разность между площадью круга и площадью вырезанного треугольника. Найдем площадь отходов $S_{отходов}$:
$S_{отходов} = S_{круга} - S_{треуг.} = \pi R^2 - \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} = R^2(\pi - \frac{3\sqrt{3}}{4})$.

Чтобы определить, сколько процентов от общей площади составляют отходы, необходимо разделить площадь отходов на площадь круга и умножить результат на 100%:
$\text{Процент отходов} = \frac{S_{отходов}}{S_{круга}} \times 100\% = \frac{R^2(\pi - \frac{3\sqrt{3}}{4})}{\pi R^2} \times 100\%$.

Как видно из формулы, радиус $R$ сокращается, а значит, процент отходов не зависит от исходного размера круга:
$\text{Процент отходов} = (1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}) \times 100\%$.

Выполним численные расчеты, используя приближенные значения $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{3} \approx 1.73205$:
$\text{Процент отходов} \approx (1 - \frac{3 \times 1.73205}{4 \times 3.14159}) \times 100\% \approx (1 - \frac{5.19615}{12.56636}) \times 100\% \approx (1 - 0.4135) \times 100\% = 0.5865 \times 100\% = 58.65\%$.

По условию задачи, ответ требуется округлить до 1%. Округляя полученное значение $58.65\%$ до ближайшего целого, получаем $59\%$.

Ответ: 59%.