Номер 300, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

300. а) Дан правильный треугольник со стороной, равной 2. Построены три сектора с центрами в вершинах треугольника и радиусами, равными 1 (рис. 240). Найдите площадь желтой части треугольника.

б) Дан сектор с углом 90° и радиусом, равным 4 (рис. 241). На его радиусах построены полукруги. Найдите площадь красной части сектора.

Puc. 240

Puc. 241

а)

Площадь желтой части треугольника можно найти, вычтя из площади всего правильного треугольника площади трех секторов, находящихся внутри него.

1. Найдем площадь правильного треугольника со стороной $a=2$. Формула площади правильного треугольника: $S_{тр} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
$S_{тр} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

2. Найдем площадь одного сектора. Так как треугольник правильный, все его углы равны $60^\circ$. Радиус каждого сектора по условию равен $r=1$. Формула площади сектора: $S_{сект} = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$.
$S_{сект} = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{60\pi}{360} = \frac{\pi}{6}$.

3. Внутри треугольника находятся три таких сектора, поэтому их общая площадь равна:
$S_{3 \cdot сект} = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

4. Вычтем из площади треугольника общую площадь секторов, чтобы найти площадь желтой части:
$S_{желт} = S_{тр} - S_{3 \cdot сект} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$

б)

Красная область состоит из двух одинаковых фигур («лепестков»). Площадь этой области можно найти, если сложить площади двух полукругов и вычесть удвоенную площадь их пересечения (центральная область, которая на рисунке не закрашена красным, а является пересечением двух красных лепестков). Эта задача известна как задача о «когтях Леонардо». Есть более простой способ решения через сложение и вычитание площадей.

1. Обозначим искомую площадь красной части как $S_{красн}$. Из рисунка видно, что красная и желтая части вместе составляют большой сектор с углом $90^\circ$ и радиусом $R=4$. Площадь этого сектора равна:
$S_{сектор} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 4^2 = 4\pi$.

2. На радиусах сектора построены два полукруга. Диаметр каждого полукруга равен радиусу сектора, то есть $d=4$. Радиус каждого полукруга равен $r = d/2 = 2$.
Площадь одного полукруга: $S_{полукруг} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 2^2 = 2\pi$.
Суммарная площадь двух полукругов: $S_{2 \cdot полукр} = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$.

3. Пусть $S_{перес}$ — это площадь пересечения двух полукругов (центральная область в форме линзы). Красная область состоит из двух частей, которые являются частями полукругов без их общей части. Таким образом, суммарная площадь двух полукругов равна площади красной части плюс удвоенная площадь их пересечения:
$S_{2 \cdot полукр} = S_{красн} + 2S_{перес}$.

4. С другой стороны, площадь большого сектора равна площади красной части плюс площадь желтой части. Желтая часть состоит из двух лунок у дуги сектора и центральной линзы. Давайте воспользуемся методом, основанном на принципе включения-исключения.
Пусть $A$ и $B$ — площади двух полукругов, $A = B = 2\pi$.
Площадь их объединения $A \cup B$ равна $S(A \cup B) = S(A) + S(B) - S(A \cap B)$, где $S(A \cap B)$ — площадь пересечения (линзы).
Красная область — это симметрическая разность $A \Delta B$, ее площадь $S(A \Delta B) = S(A) + S(B) - 2S(A \cap B)$.

5. Найдем площадь пересечения $S(A \cap B)$. Расположим сектор в системе координат с вершиной в точке (0,0) и радиусами вдоль осей. Центры полукругов будут в точках (2,0) и (0,2), их радиусы равны 2. Область пересечения симметрична. Ее площадь можно найти как сумму площадей двух секторов с центрами (2,0) и (0,2) минус площадь квадрата со стороной 2.
Площадь квадрата с вершинами (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) равна $2 \cdot 2=4$.
Площадь сектора круга с центром в (2,0) и радиусом 2, ограниченного осями $x=0, y=0$ и точкой (2,2) - это четверть круга, $S_{чк} = \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi$. Аналогично для второго сектора.
Сумма площадей двух этих секторов равна площади квадрата плюс площадь пересечения (линзы): $S_{чк} + S_{чк} = S_{квадр} + S_{перес}$.
$\pi + \pi = 4 + S_{перес}$, откуда $S_{перес} = 2\pi - 4$.

6. Теперь найдем площадь красной части:
$S_{красн} = S(A) + S(B) - 2S_{перес} = 2\pi + 2\pi - 2(2\pi - 4) = 4\pi - 4\pi + 8 = 8$.

Ответ: 8