Гимнастика ума, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

Допустим, что земной шар вдоль экватора (длина эк-ватора примерно равна 40 000 км) обтянули нитью. Затем эту нить удлинили на 20 см и равномерно (на одинаковом расстоянии от поверхности Земли) расположили по окружности над экватором (рис. 244). Сможет ли в полученный зазор между нитью и поверхностью Земли пролезть мышка?

Найдите размер этого зазора.

Puc. 244

Найдите размер этого зазора.
Для решения задачи будем считать Землю идеальным шаром. Пусть $R$ — это радиус Земли, а $L_1$ — начальная длина нити, равная длине экватора. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2 \pi r$, где $r$ — радиус.
Таким образом, начальная длина нити: $L_1 = 2 \pi R$.
После того как нить удлинили на величину $\Delta L = 20$ см, её новая длина стала $L_2 = L_1 + \Delta L$.
Эта удлинённая нить образует новую окружность, расположенную на постоянном расстоянии $h$ (это и есть искомый зазор) от поверхности Земли. Радиус этой новой окружности равен $R' = R + h$.
Следовательно, новая длина нити может быть выражена как: $L_2 = 2 \pi R' = 2 \pi (R + h)$.
Теперь приравняем два выражения для $L_2$:
$L_1 + \Delta L = 2 \pi (R + h)$
Подставим выражение $L_1 = 2 \pi R$:
$2 \pi R + \Delta L = 2 \pi (R + h)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2 \pi R + \Delta L = 2 \pi R + 2 \pi h$
Вычтем $2 \pi R$ из обеих частей уравнения:
$\Delta L = 2 \pi h$
Из этого уравнения выразим зазор $h$:
$h = \frac{\Delta L}{2 \pi}$
Как видно из формулы, размер зазора зависит только от величины удлинения нити ($\Delta L$) и не зависит от начального радиуса Земли. Поэтому значение длины экватора в 40 000 км является избыточным для решения задачи.
Подставим данное значение $\Delta L = 20$ см:
$h = \frac{20 \text{ см}}{2 \pi} = \frac{10}{\pi} \text{ см} \approx 3,18 \text{ см}$
Ответ: Размер зазора равен $\frac{10}{\pi}$ см, что составляет примерно 3,18 см.

Сможет ли в полученный зазор между нитью и поверхностью Земли пролезть мышка?
Рассчитанный зазор составляет примерно 3,18 см. Мыши известны своей способностью проникать через очень узкие щели благодаря гибкому строению тела. Зазор шириной более 3 см является достаточно большим для того, чтобы обычная мышь смогла через него пролезть.
Ответ: Да, сможет.