Номер 305, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

305. На сторонах прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметрах построены полукруги (рис. 250, б). Найдите сумму площадей луночек Гиппократа $S_1 + S_2$, если $AC = 12$, $BC = 5$.

б)

Рис. 250

б)

Задача состоит в том, чтобы найти сумму площадей $S_1$ и $S_2$ так называемых луночек Гиппократа. Эти луночки образуются на катетах прямоугольного треугольника $ABC$ (с прямым углом $C$) при построении трех полукругов на его сторонах как на диаметрах.

Согласно известной теореме, сумма площадей луночек Гиппократа, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади самого этого треугольника. Докажем это утверждение.

Пусть $S_{AC}$, $S_{BC}$ и $S_{AB}$ — это площади полукругов, построенных на катетах $AC$, $BC$ и гипотенузе $AB$ соответственно. Пусть $S_{\triangle ABC}$ — площадь треугольника $ABC$.

Из рисунка видно, что сумма площадей двух полукругов на катетах ($S_{AC} + S_{BC}$) состоит из суммы площадей луночек ($S_1 + S_2$) и площадей двух сегментов, которые являются общими для этих полукругов и большого полукруга на гипотенузе.

В то же время, площадь полукруга на гипотенузе ($S_{AB}$) состоит из площадей тех же двух сегментов и площади треугольника $S_{\triangle ABC}$. Таким образом, площадь, не покрытая треугольником внутри большого полукруга, равна $S_{AB} - S_{\triangle ABC}$.

Сумму площадей луночек можно выразить как сумму площадей полукругов на катетах минус площадь части большого полукруга, находящейся вне треугольника:

$S_1 + S_2 = (S_{AC} + S_{BC}) - (S_{AB} - S_{\triangle ABC})$

$S_1 + S_2 = S_{AC} + S_{BC} - S_{AB} + S_{\triangle ABC}$

Площадь полукруга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{8}$. Применим эту формулу к нашим полукругам:

$S_{AC} = \frac{\pi \cdot AC^2}{8}$, $S_{BC} = \frac{\pi \cdot BC^2}{8}$, $S_{AB} = \frac{\pi \cdot AB^2}{8}$.

Подставим эти выражения в нашу формулу для $S_1 + S_2$:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi \cdot AC^2}{8} + \frac{\pi \cdot BC^2}{8} - \frac{\pi \cdot AB^2}{8} + S_{\triangle ABC}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8} (AC^2 + BC^2 - AB^2) + S_{\triangle ABC}$

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Отсюда следует, что выражение в скобках равно нулю: $AC^2 + BC^2 - AB^2 = 0$.

Таким образом, мы получаем:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8} \cdot 0 + S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABC}$

Итак, мы доказали, что сумма площадей луночек равна площади прямоугольного треугольника.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$ с катетами $AC = 12$ и $BC = 5$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$.

Следовательно, сумма площадей луночек $S_1 + S_2$ также равна 30.

Ответ: 30