Тест 3, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

Дан правильный шестиугольник, радиус его описанной окружности $OK = 6$. Найдите площадь сегмента $A_1A_2A_3$.

Для того чтобы найти площадь сегмента, ограниченного дугой $A_1A_2A_3$ и хордой $A_1A_3$, необходимо из площади кругового сектора $OA_1A_2A_3$ вычесть площадь треугольника $OA_1A_3$, где $O$ - центр окружности.

Поскольку в окружность вписан правильный шестиугольник, вся окружность делится на 6 равных дуг. Центральный угол, опирающийся на одну сторону шестиугольника (например, на сторону $A_1A_2$), равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Хорда $A_1A_3$ стягивает дугу $A_1A_2A_3$, которая состоит из двух дуг, соответствующих сторонам $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Поэтому центральный угол сектора, $\angle A_1OA_3$, равен сумме углов, опирающихся на эти стороны: $\angle A_1OA_3 = \angle A_1OA_2 + \angle A_2OA_3 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Радиус описанной окружности по условию равен $R = OK = 6$.

Площадь сектора $OA_1A_2A_3$ с центральным углом $120^\circ$ и радиусом $R=6$ вычисляется по формуле:

$S_{сектора} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi$.

Площадь треугольника $OA_1A_3$ можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними. Стороны $OA_1$ и $OA_3$ равны радиусу $R=6$, а угол между ними $\angle A_1OA_3 = 120^\circ$.

$S_{\triangle OA_1A_3} = \frac{1}{2} \cdot OA_1 \cdot OA_3 \cdot \sin(\angle A_1OA_3) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ)$.

Используя значение $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{\triangle OA_1A_3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$.

Наконец, вычисляем площадь искомого сегмента как разность площади сектора и площади треугольника:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle OA_1A_3} = 12\pi - 9\sqrt{3}$.

Ответ: $12\pi - 9\sqrt{3}$.