Номер 5, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

5. Найдите отношение площадей правильных многоугольников.

a) $S_3:S_4-?$

б) $S_4:S_6-?$

в) $S_3:S_6-?$

а) S₃ : S₄ – ?

Согласно изображению, правильный треугольник (площадь $S_3$) и квадрат (площадь $S_4$) вписаны в одну и ту же окружность. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, определяется формулой $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{360^\circ}{n})$.

Для правильного треугольника ($n=3$):

$S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot R^2 \sin(\frac{360^\circ}{3}) = \frac{3}{2} R^2 \sin(120^\circ) = \frac{3}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$.

Для квадрата ($n=4$):

$S_4 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot R^2 \sin(\frac{360^\circ}{4}) = 2 R^2 \sin(90^\circ) = 2 R^2 \cdot 1 = 2R^2$.

Отношение площадей равно:

$\frac{S_3}{S_4} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2}{2R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $3\sqrt{3} : 8$.

б) S₄ : S₆ – ?

В этом случае квадрат (площадь $S_4$) описан около окружности, а правильный шестиугольник (площадь $S_6$) вписан в эту же окружность. Пусть радиус окружности равен $R$.

Площадь правильного шестиугольника ($n=6$), вписанного в окружность радиуса $R$:

$S_6 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot R^2 \sin(\frac{360^\circ}{6}) = 3 R^2 \sin(60^\circ) = 3 R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2$.

Для квадрата, описанного около окружности, радиус вписанной окружности $r$ равен $R$. Сторона такого квадрата $a_4$ равна диаметру окружности, то есть $a_4 = 2R$.

Площадь квадрата: $S_4 = a_4^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Можно также использовать формулу площади правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса $r$: $S_n = n r^2 \tan(\frac{180^\circ}{n})$. Для квадрата ($n=4$) и $r=R$:

$S_4 = 4 R^2 \tan(\frac{180^\circ}{4}) = 4 R^2 \tan(45^\circ) = 4R^2$.

Найдем отношение площадей:

$\frac{S_4}{S_6} = \frac{4R^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2} R^2} = \frac{4 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $8\sqrt{3} : 9$.

в) S₃ : S₆ – ?

Здесь правильный треугольник ($S_3$) вписан в окружность, а правильный шестиугольник ($S_6$) описан около той же окружности. Обозначим радиус окружности как $R$.

Площадь правильного треугольника ($n=3$), вписанного в окружность радиуса $R$, была найдена в пункте а):

$S_3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$.

Площадь правильного шестиугольника ($n=6$), описанного около окружности радиуса $r=R$, вычисляется по формуле $S_n = n r^2 \tan(\frac{180^\circ}{n})$.

$S_6 = 6 R^2 \tan(\frac{180^\circ}{6}) = 6 R^2 \tan(30^\circ) = 6 R^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6R^2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}R^2}{3} = 2\sqrt{3} R^2$.

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_3}{S_6} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2}{2\sqrt{3} R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $3 : 8$.