Тест 1, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

$\mathit{ABCD}$ — квадрат. Найдите $\mathit{a}$ и $\mathit{R}$.

Нахождение R

В задаче дано, что фигура ABCD — это квадрат. Окружность с центром O описана вокруг этого квадрата. Радиус описанной окружности (обозначен как R) — это расстояние от центра квадрата до любой из его вершин.

На изображении показан отрезок OA, который соединяет центр O с вершиной квадрата A. Длина этого отрезка указана и равна 4. По определению, этот отрезок и является радиусом описанной окружности.

Следовательно, $R = OA = 4$.

Ответ: $R = 4$.

Нахождение a

Сторона квадрата обозначена как a. Диагональ квадрата (например, AC) является диаметром описанной окружности. Диаметр d связан с радиусом R соотношением $d = 2R$.

Поскольку мы уже нашли, что $R = 4$, то диагональ квадрата равна:

$d = 2 \times 4 = 8$.

Сторона квадрата a и его диагональ d связаны теоремой Пифагора, так как диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника со катетами a и гипотенузой d:

$a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = d^2$

Подставим в это уравнение значение диагонали $d = 8$:

$2a^2 = 8^2$

$2a^2 = 64$

$a^2 = \frac{64}{2} = 32$

Теперь найдем a, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $a = 4\sqrt{2}$.