Номер 309, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

309. Найдите точное значение $ \cos 72^\circ $, используя рисунок 257.

Интересно знать. Карл Фридрих Гаусс — один из величайших математиков мира, его называли «королем математиков».

Сын печника, родившийся в Германии, он проявил способности к математике в раннем детстве. После окончания школы Гаусс поступил в Геттингенский университет на отделение филологии и хотел стать поэтом. Но позже Гаусс увлекся одной математической задачей и выбрал своей профессией математику.

Для решения задачи нам понадобится специальный геометрический чертеж, который, по всей видимости, и является рисунком 257. Поскольку сам рисунок отсутствует, мы построим его логически.

1. Построение. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, в котором углы при основании равны $72^\circ$, а угол при вершине $A$ равен $36^\circ$. Таким образом, $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = \angle C = 72^\circ$.

2. Проведение биссектрисы. Проведем в этом треугольнике биссектрису $BD$ угла $\angle B$. Она делит угол $\angle B$ на два угла: $\angle ABD = \angle DBC = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

3. Анализ полученных треугольников.

- Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем $\angle A = 36^\circ$ и $\angle ABD = 36^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$, откуда следует, что $AD = BD$.

- Рассмотрим треугольник $BDC$. В нем $\angle C = 72^\circ$ и $\angle DBC = 36^\circ$. Третий угол $\angle BDC = 180^\circ - (72^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Так как $\angle C = \angle BDC = 72^\circ$, треугольник $BDC$ также является равнобедренным с основанием $DC$. Отсюда следует, что $BD = BC$.

Из полученных равенств ($AD=BD$ и $BD=BC$) мы можем заключить, что $AD = BD = BC$.

4. Подобие треугольников. Сравним исходный треугольник $ABC$ и треугольник $BDC$. У них $\angle C$ общий, а $\angle ABC = \angle BDC = 72^\circ$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $BDC$ подобны по двум углам: $\triangle ABC \sim \triangle BDC$.

5. Составление уравнения. Обозначим длину боковой стороны $AC$ за 1, а длину основания $BC$ за $x$. То есть, $AC = AB = 1$ и $BC = x$.

Так как $AD = BC$, то $AD = x$.

Сторона $AC$ состоит из отрезков $AD$ и $DC$. $AC = AD + DC$. Подставив известные нам значения, получаем: $1 = x + DC$, откуда $DC = 1 - x$.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle BDC$ следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$

Подставим наши обозначения:

$\frac{1}{x} = \frac{x}{1-x}$

Решим это уравнение. По свойству пропорции:

$x^2 = 1 \cdot (1-x)$

$x^2 = 1 - x$

$x^2 + x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $x$ обозначает длину стороны треугольника, эта величина должна быть положительной. Поэтому мы выбираем корень со знаком "плюс":

$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

6. Нахождение косинуса. Вернемся к исходному треугольнику $ABC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BM$ на сторону $AC$. В прямоугольном треугольнике $ABM$ угол $\angle A = 36^\circ$. Тогда $\cos(36^\circ) = \frac{AM}{AB}$. Это не то, что нам нужно.

Рассмотрим другой подход. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM_1$ к основанию $BC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, эта высота является также медианой. Значит, $BM_1 = M_1C = \frac{BC}{2} = \frac{x}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AM_1C$. В нем гипотенуза $AC = 1$, катет $M_1C = x/2$ и угол $\angle C = 72^\circ$.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos C = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos(72^\circ) = \frac{M_1C}{AC} = \frac{x/2}{1} = \frac{x}{2}$

Подставим найденное значение $x$:

$\cos(72^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Ответ: $\cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$