Номер 3, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

3. Найдите указанную величину для правильного многоугольника.

a) $S=16\sqrt{3}. r-? \mathstrut$

б) $r=2\sqrt{3}. S_6-? \mathstrut$

в) $R+r=2+\sqrt{2}. S_4-? \mathstrut$

а)

Для правильного (равностороннего) треугольника существует формула, связывающая его площадь $S$ и радиус вписанной окружности $r$:
$S = 3\sqrt{3} \cdot r^2$
Из условия задачи нам известно, что $S = 16\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу и найдем $r$.
$16\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot r^2$
Разделим обе части уравнения на $3\sqrt{3}$:
$r^2 = \frac{16\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{16}{3}$
Теперь найдем $r$, взяв квадратный корень (радиус не может быть отрицательным):
$r = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$r = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $r = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

б)

Площадь правильного n-угольника $S_n$ можно найти через радиус вписанной окружности $r$ по формуле:
$S_n = n \cdot r^2 \cdot \tan(\frac{180^\circ}{n})$, где $n$ — количество сторон.
Для правильного шестиугольника $n=6$, поэтому формула принимает вид:
$S_6 = 6 \cdot r^2 \cdot \tan(\frac{180^\circ}{6}) = 6 \cdot r^2 \cdot \tan(30^\circ)$
Значение тангенса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим его в формулу:
$S_6 = 6 \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \cdot r^2$
Из условия задачи известно, что $r = 2\sqrt{3}$. Подставим это значение:
$S_6 = 2\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3})^2$
$S_6 = 2\sqrt{3} \cdot (4 \cdot 3) = 2\sqrt{3} \cdot 12$
$S_6 = 24\sqrt{3}$
Ответ: $S_6 = 24\sqrt{3}$.

в)

Рассмотрим связи между стороной квадрата $a$, радиусом вписанной окружности $r$ и радиусом описанной окружности $R$.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны: $r = \frac{a}{2}$.
Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали. Диагональ квадрата равна $d = a\sqrt{2}$, следовательно, $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Найдем отношение $R$ к $r$:
$\frac{R}{r} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a/2} = \sqrt{2}$. Отсюда следует, что $R = r\sqrt{2}$.
По условию дано: $R + r = 2 + \sqrt{2}$.
Подставим выражение $R = r\sqrt{2}$ в это уравнение:
$r\sqrt{2} + r = 2 + \sqrt{2}$
Вынесем $r$ за скобки в левой части и $\sqrt{2}$ в правой части ($2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$):
$r(\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$
Разделив обе части на $(\sqrt{2} + 1)$, получаем:
$r = \sqrt{2}$
Теперь, зная $r$, найдем сторону квадрата $a$:
$a = 2r = 2\sqrt{2}$
Площадь квадрата $S_4$ вычисляется по формуле $S_4 = a^2$.
$S_4 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
Ответ: $S_4 = 8$.