Номер 311, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

311. Перенесите векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, а также точки А и В в тетрадь (рис. 265).

Puc. 265

а) Отложите от точки А векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

б) Отложите от точки В векторы $\vec{c}$ и $-\vec{a}$. Найдите угол между векторами $\vec{c}$ и $-\vec{a}$.

Puc. 265

Для решения задачи введем систему координат, в которой одна клетка соответствует единичному отрезку. Определим координаты векторов, представленных на рисунке.

Вектор $\vec{a}$ смещается на 3 клетки вправо по горизонтали. Его координаты: $\vec{a} = (3, 0)$.

Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Его координаты: $\vec{b} = (2, 2)$.

Вектор $\vec{c}$ смещается на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Его координаты: $\vec{c} = (2, -1)$.

Чтобы отложить вектор от точки, нужно поместить начало вектора в эту точку, сохранив его длину и направление. Угол между векторами находится, когда их начала совмещены.

Угол $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}=(x_1, y_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2)$ можно найти по формуле, использующей скалярное произведение:

$ \cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} $

а) Отложим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от точки A. Угол между ними будет таким же, как и угол между векторами, отложенными от начала координат.

Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{a} = (3, 0)$ и $\vec{b} = (2, 2)$.

1. Скалярное произведение:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 6 $

2. Модули (длины) векторов:

$ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $

$ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $

3. Косинус угла между векторами:

$ \cos \alpha = \frac{6}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

4. Угол:

$ \alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ $

Можно также заметить, что вектор $\vec{a}$ направлен вдоль оси Ox, а вектор $\vec{b}$ образует с осью Ox угол, тангенс которого равен $2/2 = 1$, что соответствует углу $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Отложим от точки B векторы $\vec{c}$ и $-\vec{a}$. Вектор $-\vec{a}$ противоположен вектору $\vec{a}$.

Координаты вектора $-\vec{a}$:

$ -\vec{a} = -(3, 0) = (-3, 0) $

Координаты вектора $\vec{c}$ нам известны: $\vec{c} = (2, -1)$.

Найдем угол $\beta$ между векторами $\vec{c} = (2, -1)$ и $-\vec{a} = (-3, 0)$.

1. Скалярное произведение:

$ \vec{c} \cdot (-\vec{a}) = 2 \cdot (-3) + (-1) \cdot 0 = -6 $

2. Модули векторов:

$ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $

$ |-\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $

3. Косинус угла между векторами:

$ \cos \beta = \frac{-6}{3 \cdot \sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} $

4. Угол:

$ \beta = \arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}}) $

Ответ: $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{5}})$.