Номер 317, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

317. Начертите произвольный вектор $\overrightarrow{AB}$. На прямой $AB$ отметьте точ-

ку $C$ и отложите от нее:

а) вектор, равный вектору $\overrightarrow{AB}$;

б) вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{AB}$.

Сначала начертим произвольный вектор $\overrightarrow{AB}$. Для этого выберем на плоскости две несовпадающие точки A (начало) и B (конец) и соединим их направленным отрезком. Прямая AB — это прямая, проходящая через точки A и B. Отметим на этой прямой произвольную точку C. Положение точки C может быть любым: между A и B, вне отрезка AB и так далее. Решение не зависит от конкретного положения точки C.

а) вектор, равный вектору $\overrightarrow{AB}$

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. Чтобы отложить от точки C вектор, равный $\overrightarrow{AB}$, нужно найти такую точку D, чтобы вектор $\overrightarrow{CD}$ был равен вектору $\overrightarrow{AB}$.

Для этого должны выполняться условия:

1. Векторы $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB}$ должны быть сонаправлены ($\overrightarrow{CD} \uparrow\uparrow \overrightarrow{AB}$).
2. Длины векторов должны быть равны ($|\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{AB}|$).

Так как точка C лежит на прямой AB, то и точка D должна лежать на этой же прямой, чтобы векторы были коллинеарны. Чтобы они были сонаправлены, от точки C нужно двигаться в том же направлении, в котором направлен вектор $\overrightarrow{AB}$ (то есть от A к B). На этом направлении от точки C откладываем отрезок CD, длина которого равна длине отрезка AB. Полученная точка D будет концом искомого вектора.

Ответ: Искомый вектор — это $\overrightarrow{CD}$, где точка D лежит на прямой AB, расстояние $|CD|$ равно расстоянию $|AB|$, и направление от C к D совпадает с направлением от A к B.

б) вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{AB}$

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Чтобы отложить от точки C вектор, противоположный $\overrightarrow{AB}$, нужно найти такую точку E, чтобы вектор $\overrightarrow{CE}$ был противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$.

Для этого должны выполняться условия:

1. Векторы $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{AB}$ должны быть противоположно направлены ($\overrightarrow{CE} \uparrow\downarrow \overrightarrow{AB}$).
2. Длины векторов должны быть равны ($|\overrightarrow{CE}| = |\overrightarrow{AB}|$).

Точка E, как и точка C, должна лежать на прямой AB. Чтобы векторы были противоположно направлены, от точки C нужно двигаться в направлении, обратном направлению вектора $\overrightarrow{AB}$ (то есть в направлении от B к A). На этом направлении от точки C откладываем отрезок CE, длина которого равна длине отрезка AB. Полученная точка E будет концом искомого вектора.

Ответ: Искомый вектор — это $\overrightarrow{CE}$, где точка E лежит на прямой AB, расстояние $|CE|$ равно расстоянию $|AB|$, и направление от C к E противоположно направлению от A к B.