Номер 324, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

324. Докажите, что угол между данными векторами равен углу между

векторами, противоположными данным.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Угол между ними, обозначенный как $\alpha$, определяется через их скалярное произведение и модули.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Векторы, противоположные данным, — это векторы $-\vec{a}$ и $-\vec{b}$. Обозначим угол между ними как $\beta$.

Чтобы найти косинус угла $\beta$, используем ту же формулу, подставив в неё противоположные векторы:

$\cos \beta = \frac{(-\vec{a}) \cdot (-\vec{b})}{|-\vec{a}| |-\vec{b}|}$

Теперь упростим это выражение, используя свойства скалярного произведения и модуля вектора.

1. Для числителя: скалярное произведение $(-\vec{a}) \cdot (-\vec{b})$ можно преобразовать, вынеся скалярные множители:

$(-\vec{a}) \cdot (-\vec{b}) = (-1)\vec{a} \cdot (-1)\vec{b} = (-1)(-1)(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{b}$

2. Для знаменателя: модуль (длина) вектора, противоположного данному, равен модулю исходного вектора:

$|-\vec{a}| = |\vec{a}|$ и $|-\vec{b}| = |\vec{b}|$

Подставим упрощённые выражения обратно в формулу для $\cos \beta$:

$\cos \beta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сравнивая выражения для $\cos \alpha$ и $\cos \beta$, мы видим, что они идентичны:

$\cos \alpha = \cos \beta$

Угол между векторами по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). На этом промежутке функция косинуса является монотонной, а значит, каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла. Следовательно, из равенства косинусов следует равенство самих углов:

$\alpha = \beta$

Таким образом, доказано, что угол между данными векторами равен углу между векторами, противоположными данным.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство углов следует из того, что формула для косинуса угла, выраженная через скалярное произведение и модули векторов, даёт один и тот же результат для пары векторов $(\vec{a}, \vec{b})$ и для пары противоположных им векторов $(-\vec{a}, -\vec{b})$, поскольку $(-\vec{a}) \cdot (-\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ и $|-\vec{a}||\-\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|$.