Номер 318, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

318. Дан параллелограмм $ABCD$ (рис. 266).

а) Запишите вектор, равный вектору $\overrightarrow{CB}$, и векторы, противоположные вектору $\overrightarrow{CD}$.

б) Используя данные рисунка 266, найдите

угол между векторами: $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{CB}$

и $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Puc. 266

а)

По определению, равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны, то есть $BC || AD$ и $BC = AD$. Вектор $\vec{CB}$ направлен от точки C к точке B. Вектор $\vec{DA}$ направлен от точки D к точке A. Так как прямые BC и AD параллельны, векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ сонаправлены. Их длины также равны ($|\vec{CB}| = BC = AD = |\vec{DA}|$). Следовательно, $\vec{DA}$ равен вектору $\vec{CB}$.

Противоположные векторы — это векторы, имеющие равные длины и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору $\vec{CD}$, по определению есть вектор $\vec{DC}$. Кроме того, в параллелограмме ABCD имеем $\vec{AB} = \vec{DC}$. Так как $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, то и равный ему вектор $\vec{AB}$ также противоположен вектору $\vec{CD}$.

Ответ: Вектор, равный вектору $\vec{CB}$, это $\vec{DA}$. Векторы, противоположные вектору $\vec{CD}$, это $\vec{DC}$ и $\vec{AB}$.

б)

Сначала найдем углы параллелограмма, используя его свойства. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, а противоположные углы равны. Из рисунка известно, что $\angle A = \angle DAB = 65^\circ$.

Тогда:

$\angle C = \angle BCD = \angle A = 65^\circ$.

$\angle B = \angle ABC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

$\angle D = \angle ADC = \angle B = 115^\circ$.

Угол между двумя векторами определяется как угол между лучами, которые исходят из одной точки и сонаправлены с данными векторами.

Угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$:

Оба вектора исходят из одной точки C, поэтому угол между ними равен углу $\angle BCD$ параллелограмма. Угол $(\widehat{\vec{CB}, \vec{CD}}) = \angle BCD = 65^\circ$.

Угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$:

Чтобы найти угол, приведем векторы к общему началу. Вектор $\vec{BA}$ равен вектору $\vec{CD}$, так как в параллелограмме они сонаправлены и имеют равные длины. Значит, угол между $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$ равен углу между $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$. Угол $(\widehat{\vec{CB}, \vec{BA}}) = (\widehat{\vec{CB}, \vec{CD}}) = \angle BCD = 65^\circ$.

Угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$:

Приведем векторы к общему началу. Вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$. Угол между $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$ равен углу между $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$. Чтобы найти угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$, отложим их от точки C. Вектор $\vec{CD}$ исходит из точки C, а вектор $\vec{BC}$ входит в точку C. Угол между ними будет смежным с углом $\angle BCD$. Угол $(\widehat{\vec{AD}, \vec{CD}}) = (\widehat{\vec{BC}, \vec{CD}}) = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$. Другой способ: угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$ равен углу между противоположными им векторами $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$. Оба этих вектора исходят из точки D, и угол между ними равен $\angle ADC$. Угол $(\widehat{\vec{AD}, \vec{CD}}) = (\widehat{\vec{DA}, \vec{DC}}) = \angle ADC = 115^\circ$.

Ответ: Угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ равен $65^\circ$; угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$ равен $65^\circ$; угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$ равен $115^\circ$.