Номер 321, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

321. а) В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 8$ см, $AB = 6$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $\left|\vec{DO}\right|$.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $BC = 7$ см, $M$ — середина гипотенузы. Найдите $\left|\vec{CM}\right|$.

а) В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Длина вектора $|\vec{DO}|$ равна длине отрезка $DO$. Таким образом, $DO$ составляет половину диагонали $BD$, то есть $DO = \frac{1}{2}BD$. Диагональ $BD$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABD$ (так как $\angle A = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину диагонали $BD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$BD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$BD = \sqrt{100} = 10$ см.
Теперь можем найти длину отрезка $DO$:
$DO = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Следовательно, $|\vec{DO}| = 5$ см.

Ответ: 5 см.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $\angle C = 90^\circ$) отрезок $CM$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AB$, так как $M$ — середина гипотенузы. Длина вектора $|\vec{CM}|$ равна длине этой медианы.

По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, $CM = \frac{1}{2}AB$.
Также в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$, поэтому $BC = \frac{1}{2}AB$.
Из этих двух равенств следует, что $CM = BC$.
По условию, $BC = 7$ см, следовательно, $CM = 7$ см.

Таким образом, $|\vec{CM}| = 7$ см.

Ответ: 7 см.