Номер 4, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. Дан правильный n-угольник. Найдите площадь и периметр закрашенной фигуры, зная сторону n-угольника.

a) 2

б) 6

в) 4

а)

Дан правильный 4-угольник (квадрат), вписанный в окружность. Сторона квадрата $a = 2$. Закрашенная фигура, судя по рисунку, представляет собой объединение треугольника, образованного центром окружности O и левой стороной квадрата, и сектора, образованного центром O и нижней стороной квадрата.
Найдем радиус описанной окружности $R$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Также диагональ равна двум радиусам, $d=2R$. Отсюда $2R = 2\sqrt{2}$, и $R = \sqrt{2}$.
Центральный угол, опирающийся на одну сторону квадрата, равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$.
Площадь закрашенной фигуры (S):
Площадь состоит из площади треугольника $S_{\Delta}$ и площади сектора $S_{сект}$.
Треугольник, образованный центром и одной из сторон, является равнобедренным прямоугольным с катетами, равными радиусу $R$. Его площадь:

$S_{\Delta} = \frac{1}{2}R^2 = \frac{1}{2}(\sqrt{2})^2 = 1$.
Сектор, образованный центром и другой стороной, имеет угол $90^\circ$. Его площадь:

$S_{сект} = \frac{90}{360}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi (\sqrt{2})^2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Общая площадь: $S = S_{\Delta} + S_{сект} = 1 + \frac{\pi}{2}$.
Периметр закрашенной фигуры (P):
Периметр состоит из двух радиусов, одной стороны квадрата и дуги окружности. Однако, судя по рисунку, граница фигуры состоит из радиуса, идущего в левый верхний угол, левой стороны квадрата, дуги окружности, соответствующей нижней стороне, и радиуса, идущего из правого нижнего угла в центр. Эта интерпретация некорректна, так как фигура должна быть замкнутой и непрерывной.
Наиболее вероятная интерпретация внешнего периметра фигуры, являющейся объединением левого треугольника и нижнего сектора, состоит из: радиуса (от центра O до левого верхнего угла), стороны квадрата (левой), дуги окружности (соответствующей нижней стороне) и еще одного радиуса (от правого нижнего угла до центра O).
Длина дуги $L_{дуги} = \frac{90}{360} \cdot 2\pi R = \frac{1}{4} \cdot 2\pi\sqrt{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.
Периметр $P = R (\text{верхний левый}) + a (\text{левая сторона}) + L_{дуги} (\text{нижняя}) + R (\text{нижний правый}) = \sqrt{2} + 2 + \frac{\pi\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: Площадь $S = 1 + \frac{\pi}{2}$, периметр $P = 2 + 2\sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.

б)

Дан правильный 6-угольник, описанный около окружности. Сторона 6-угольника $a = 6$. Закрашенная фигура — сектор вписанной окружности.
Найдем радиус вписанной окружности $r$. Для правильного 6-угольника радиус вписанной окружности равен высоте равностороннего треугольника со стороной $a$.

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
Центральный угол, соответствующий одной стороне 6-угольника, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Это и есть угол закрашенного сектора.
Площадь закрашенной фигуры (S):
Площадь сектора с углом $60^\circ$ и радиусом $r = 3\sqrt{3}$:

$S = \frac{60}{360}\pi r^2 = \frac{1}{6}\pi (3\sqrt{3})^2 = \frac{1}{6}\pi (9 \cdot 3) = \frac{27\pi}{6} = \frac{9\pi}{2}$.
Периметр закрашенной фигуры (P):
Периметр сектора состоит из двух радиусов и длины дуги.

$P = 2r + L_{дуги}$.
Длина дуги $L_{дуги} = \frac{60}{360} \cdot 2\pi r = \frac{1}{6} \cdot 2\pi (3\sqrt{3}) = \pi\sqrt{3}$.
Периметр $P = 2(3\sqrt{3}) + \pi\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = (6+\pi)\sqrt{3}$.
Ответ: Площадь $S = \frac{9\pi}{2}$, периметр $P = (6+\pi)\sqrt{3}$.

в)

Дан правильный 3-угольник (равносторонний), описанный около окружности. Сторона треугольника $a = 4$. Закрашенная фигура — это область между одной из вершин треугольника и вписанной окружностью.
Найдем радиус вписанной окружности $r$. Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Площадь закрашенной фигуры (S):
Площадь можно найти как разность площади "кайта" (дельтоида), образованного вершиной треугольника, центром окружности O и двумя точками касания, и площади сектора окружности.
Угол при вершине треугольника равен $60^\circ$. Прямые, соединяющие центр с точками касания, перпендикулярны сторонам. Угол сектора $\alpha$ можно найти из суммы углов четырехугольника (кайта): $\alpha = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сект} = \frac{120}{360}\pi r^2 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{4 \cdot 3}{9}\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{12}{9} = \frac{4\pi}{9}$.
Площадь кайта можно найти как сумму площадей двух прямоугольных треугольников. Длина отрезка от вершины до точки касания $d$ равна $r / \tan(30^\circ) = (\frac{2\sqrt{3}}{3}) / (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2$. Площадь одного такого треугольника $\frac{1}{2} \cdot d \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Площадь кайта $S_{кайт} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Площадь закрашенной фигуры $S = S_{кайт} - S_{сект} = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4\pi}{9}$.
Периметр закрашенной фигуры (P):
Периметр состоит из двух отрезков от вершины до точек касания и дуги окружности между ними.

$P = d + d + L_{дуги} = 2 + 2 + L_{дуги} = 4 + L_{дуги}$.
Длина дуги $L_{дуги} = \frac{120}{360} \cdot 2\pi r = \frac{1}{3} \cdot 2\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$.
Периметр $P = 4 + \frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$.
Ответ: Площадь $S = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4\pi}{9}$, периметр $P = 4 + \frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$.