Тест 1, страница 169 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

a) Назовите векторы, изображенные на рисунке.

$\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{AC}$

b) Найдите длину каждого из названных векторов, если сторона клеточки равна 1 см.

а) На рисунке изображены три вектора. Вектор — это направленный отрезок, который определяется своим началом и концом (указан стрелкой). Таким образом, на рисунке представлены следующие векторы:
1. Вектор с началом в точке A и концом в точке B. Обозначается как $\vec{AB}$.
2. Вектор с началом в точке B и концом в точке C. Обозначается как $\vec{BC}$.
3. Вектор с началом в точке A и концом в точке C. Обозначается как $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{AC}$.

б) Длина вектора (или его модуль) — это длина отрезка, который он представляет. По условию, сторона одной клетки на сетке равна 1 см. Найдем длину каждого вектора.
Длина вектора $\vec{AB}$ (обозначается $|\vec{AB}|$) соответствует длине горизонтального отрезка AB. Видно, что этот отрезок занимает 3 клетки. Следовательно, его длина:
$|\vec{AB}| = 3 \times 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
Длина вектора $\vec{BC}$ (обозначается $|\vec{BC}|$) соответствует длине вертикального отрезка BC. Этот отрезок занимает 2 клетки. Следовательно, его длина:
$|\vec{BC}| = 2 \times 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.
Длину вектора $\vec{AC}$ (обозначается $|\vec{AC}|$) найдем, рассмотрев прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке B. Катеты этого треугольника равны длинам векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$|\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2$
Подставим известные значения длин:
$|\vec{AC}|^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$
Извлекая квадратный корень, находим длину вектора $\vec{AC}$:
$|\vec{AC}| = \sqrt{13}$ см.
Ответ: $|\vec{AB}| = 3$ см, $|\vec{BC}| = 2$ см, $|\vec{AC}| = \sqrt{13}$ см.