Номер 308, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

308. При помощи циркуля и линейки постройте правильный десятиугольник с данной стороной $b$.

Для построения правильного десятиугольника с заданной стороной b необходимо сначала найти радиус R описанной около него окружности. После нахождения этого радиуса можно построить окружность и последовательно отложить на ней 10 хорд, равных стороне b.

Анализ

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и стороной правильного десятиугольника. Пусть O — центр описанной окружности, а A и B — две соседние вершины десятиугольника. Тогда OA = OB = R, а AB = b. Центральный угол ∠AOB, стягиваемый стороной b, равен $360^\circ / 10 = 36^\circ$. Углы при основании треугольника OAB равны $(180^\circ - 36^\circ) / 2 = 72^\circ$.

Применим теорему синусов к треугольнику OAB:

$\frac{b}{\sin(36^\circ)} = \frac{R}{\sin(72^\circ)}$

Отсюда $R = b \frac{\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)} = b \frac{2\sin(36^\circ)\cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ)} = 2b\cos(36^\circ)$.

Известно, что $\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$. Тогда

$R = 2b \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{4} = b \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Отношение $\frac{R}{b} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является золотым сечением, которое обозначается буквой $\phi$.

Таким образом, задача сводится к построению отрезка R, длина которого связана с длиной b через золотое сечение: $R = b\phi$.

Построение

Построение будет состоять из двух этапов: сначала построим отрезок, равный радиусу R, а затем построим сам десятиугольник.

I. Построение радиуса R описанной окружности:

1. Возьмем произвольный отрезок OA, равный данной стороне b.
2. В точке A восставим перпендикуляр к отрезку OA.
3. Найдем середину отрезка OA (стандартное построение с помощью циркуля) и отложим на перпендикуляре из точки A отрезок AM, равный половине OA, т. е. $AM = b/2$.
4. Соединим точки O и M. Длина отрезка OM по теореме Пифагора равна $\sqrt{b^2 + (b/2)^2} = \frac{b\sqrt{5}}{2}$.
5. На луче OM от точки M отложим отрезок MQ, равный отрезку AM (т. е. $b/2$). Точка Q будет лежать на продолжении отрезка OM за точку M.
6. Отрезок OQ, равный $OM+MQ$, является искомым радиусом R.

II. Построение десятиугольника:

1. В произвольном месте на плоскости выберем точку O' и построим окружность с центром в O' и радиусом R (длиной отрезка OQ, полученного на первом этапе).
2. На построенной окружности выберем произвольную точку $A_1$.
3. Установим раствор циркуля равным исходной стороне b.
4. Начиная от точки $A_1$, последовательно откладываем на окружности хорды, равные b. Получаем точки $A_2, A_3, \ldots, A_{10}$. То есть, ставим иглу циркуля в $A_1$ и делаем засечку на окружности, получая $A_2$. Затем ставим иглу в $A_2$ и делаем засечку, получая $A_3$, и так далее.
5. Соединяем последовательно точки $A_1, A_2, \ldots, A_{10}$ и $A_{10}$ с $A_1$ с помощью линейки.

Полученная фигура $A_1A_2...A_{10}$ является искомым правильным десятиугольником.

Доказательство

Докажем, что построенный отрезок OQ действительно равен $b \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике OAM катеты равны $OA=b$ и $AM=b/2$. По теореме Пифагора, гипотенуза $OM = \sqrt{OA^2 + AM^2} = \sqrt{b^2 + (b/2)^2} = \sqrt{b^2 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{5b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{5}}{2}$.

По построению, отрезок R равен OQ, который состоит из отрезков OM и MQ. Длина MQ была выбрана равной AM, то есть $b/2$.

Следовательно, $R = OQ = OM + MQ = \frac{b\sqrt{5}}{2} + \frac{b}{2} = b \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

Это в точности соответствует формуле для радиуса описанной окружности правильного десятиугольника со стороной b. Так как мы построили окружность с правильным радиусом R, то, откладывая на ней хорды длиной b, мы будем получать центральные углы, равные $36^\circ$. Десять таких построений приведут к замыканию фигуры, так как $10 \cdot 36^\circ = 360^\circ$. Все стороны многоугольника равны b, и он вписан в окружность, следовательно, он является правильным.

Ответ: Вышеописанная последовательность действий позволяет с помощью циркуля и линейки построить правильный десятиугольник с заданной стороной b.