Номер 304, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

304. На сторонах прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены полукруги (рис. 250, а). Докажите, что $S_1 + S_2 = S_3$.

a)

a)

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты равны $AC$ и $BC$, а гипотенуза равна $AB$. Угол $C$ — прямой.

Площадь полукруга вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}\pi r^2$, где $r$ — радиус. Поскольку на сторонах треугольника построены полукруги, то стороны являются их диаметрами. Если диаметр равен $d$, то радиус $r = \frac{d}{2}$. Тогда формулу площади можно записать через диаметр:

$S = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$.

Используя эту формулу, выразим площади $S_1$, $S_2$ и $S_3$:

1. Площадь $S_1$ полукруга, построенного на катете $AC$ как на диаметре:

$S_1 = \frac{\pi \cdot AC^2}{8}$.

2. Площадь $S_2$ полукруга, построенного на катете $BC$ как на диаметре:

$S_2 = \frac{\pi \cdot BC^2}{8}$.

3. Площадь $S_3$ полукруга, построенного на гипотенузе $AB$ как на диаметре:

$S_3 = \frac{\pi \cdot AB^2}{8}$.

Теперь найдем сумму площадей $S_1$ и $S_2$:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi \cdot AC^2}{8} + \frac{\pi \cdot BC^2}{8}$.

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8} (AC^2 + BC^2)$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Подставим это равенство в выражение для суммы площадей:

$S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8} (AB^2) = \frac{\pi \cdot AB^2}{8}$.

Мы видим, что полученное выражение для $S_1 + S_2$ в точности совпадает с выражением для площади $S_3$. Следовательно, $S_1 + S_2 = S_3$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.