номер 307, страница 162 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

307. При помощи циркуля и линейки постройте:

а) правильный пятиугольник по данной его стороне $a$;

б) правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность.

а) правильный пятиугольник по данной его стороне a

Данный метод построения основан на нахождении длины диагонали правильного пятиугольника. Длина диагонали $d$ связана со стороной $a$ через золотое сечение: $d = a \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Алгоритм позволяет построить отрезок такой длины.

Порядок действий:

1. На прямой отложите отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.

2. В точке $B$ при помощи циркуля и линейки постройте прямую, перпендикулярную прямой $AB$.

3. На этой перпендикулярной прямой отложите отрезок $BP$ так, чтобы его длина была равна половине длины отрезка $AB$, то есть $BP = a/2$.

4. Соедините точки $A$ и $P$.

5. Проведите окружность с центром в точке $P$ и радиусом, равным длине отрезка $AP$.

6. Эта окружность пересечет прямую, на которой лежит отрезок $BP$, в двух точках. Выберите ту точку, которая лежит дальше от точки $B$, и назовите ее $K$. Длина отрезка $BK$ будет равна диагонали $d$ искомого пятиугольника.

7. Теперь, имея длину стороны $a$ (отрезок $AB$) и длину диагонали $d$ (отрезок $BK$), можно построить остальные вершины пятиугольника. Вершины $A$ и $B$ уже есть.

8. Вершина $C$ находится в точке пересечения двух дуг: дуги с центром в точке $B$ и радиусом $a$ и дуги с центром в точке $A$ и радиусом $d$.

9. Вершина $E$ находится в точке пересечения дуги с центром в точке $A$ и радиусом $a$ и дуги с центром в точке $B$ и радиусом $d$.

10. Последняя вершина $D$ находится в точке пересечения двух дуг: одной с центром в точке $C$ и радиусом $a$, и второй с центром в точке $E$ и радиусом $a$.

11. Последовательно соедините отрезками точки $A, B, C, D, E$. Фигура $ABCDE$ является искомым правильным пятиугольником.

Ответ: Построен правильный пятиугольник по данной стороне $a$.

б) правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность

Для построения используется классический метод, который позволяет найти точную длину стороны правильного пятиугольника, вписанного в окружность заданного радиуса.

Порядок действий:

1. Дана окружность с центром в точке $O$. Проведите через ее центр диаметр $AB$.

2. Постройте радиус $OC$, перпендикулярный диаметру $AB$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

3. Найдите точку $M$ — середину радиуса $OB$.

4. Установите ножку циркуля в точку $M$, а грифель — в точку $C$. Проведите дугу окружности с центром $M$ и радиусом $MC$.

5. Эта дуга пересечет диаметр $AB$ в точке $K$, которая будет лежать на отрезке $OA$. Длина отрезка $CK$ в точности равна длине стороны искомого правильного пятиугольника.

6. Установите раствор циркуля равным длине отрезка $CK$.

7. Начиная с любой точки на исходной окружности (удобно взять точку $C$ за первую вершину), последовательно откладывайте этим раствором циркуля пять точек на окружности. Для этого из точки $C$ проведите дугу радиусом $CK$ до пересечения с окружностью — получите вторую вершину. Из второй вершины как из центра проведите дугу тем же радиусом и получите третью, и так далее, пока не будут отмечены все пять вершин.

8. Соедините полученные пять вершин отрезками. В результате будет построен искомый правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность.

Ответ: Построен правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность.