Геометрия 3D, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

Напомним, что в 8-м классе мы рассмотрели два тела вращения: цилиндр и конус. На рисунках 246 и 247 изображены эти тела и развертки их поверхности на плоскость.

Выполните задания 1 и 2, связанные с этими пространственными фигурами.

Высота

$H$

$R$

Цилиндр

Образующая

Высота

$L$

$H$

$R$

Конус

$R$

Puc. 246

$R$

$H$

$2\pi R$

$L$

$2\pi R$

Puc. 247

Задание 1. Найдите площадь поверхности цилиндра, высота которого равна 10 см, а радиус основания — 4 см. Значение $\pi$ возьмите равным 3.

Задание 2. Найдите площадь поверхности конуса, высота которого равна 4 см, а радиус основания — 3 см. Значение $\pi$ возьмите равным 3.

Задание 3. Шар называется вписанным в конус, если он касается основания конуса в его центре и боковой поверхности по некоторой окружности (рис. 248). Центр шара при этом лежит на высоте конуса. Если провести плоскость через высоту конуса, то в сечении конуса получится равнобедренный треугольник, а в сечении вписанного шара — его большой круг, вписанный в указанный равнобедренный треугольник. Найдите радиус шара, вписанного в конус с радиусом основания, равным 6 см, и высотой, равной 4 см.

Puc. 248

Задание 1

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется как сумма площадей двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности (прямоугольника).

Формула площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. Так как оснований два, их суммарная площадь равна $2\pi R^2$.

Площадь боковой поверхности (прямоугольника в развертке) равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра: $S_{бок} = 2\pi R H$.

Таким образом, общая формула: $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R(R+H)$.

Подставляем данные из условия: высота $H = 10$ см, радиус основания $R = 4$ см, и значение $\pi = 3$.

$S_{полн} = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (4 + 10) = 24 \cdot 14 = 336$ см$^2$.

Ответ: 336 см$^2$.

Задание 2

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади основания (круга) и площади боковой поверхности (сектора).

Формула площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R+L)$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей.

Сначала найдем длину образующей $L$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота конуса $H$ и радиус основания $R$. По теореме Пифагора:

$L = \sqrt{H^2 + R^2}$.

Подставляем известные значения: $H = 4$ см, $R = 3$ см.

$L = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь подставим все значения в формулу площади поверхности, используя $\pi = 3$:

$S_{полн} = 3 \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 9 \cdot 8 = 72$ см$^2$.

Ответ: 72 см$^2$.

Задание 3

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое проходит через его высоту. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Сечение вписанного шара при этом является большим кругом, вписанным в этот равнобедренный треугольник. Радиус этого круга, обозначим его $r$, и есть искомый радиус шара.

Основание равнобедренного треугольника равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота треугольника равна высоте конуса ($H$). Боковые стороны треугольника равны образующей конуса ($L$).

По условию, радиус основания конуса $R = 6$ см, а высота $H = 4$ см.

Найдем длину образующей $L$ по теореме Пифагора:

$L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Радиус $r$ вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь осевого сечения (треугольника): $S = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = 6 \cdot 4 = 24$ см$^2$.

Периметр треугольника: $P = 2R + L + L = 2 \cdot 6 + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} = 12 + 4\sqrt{13}$ см.

Полупериметр треугольника: $p = \frac{P}{2} = \frac{12 + 4\sqrt{13}}{2} = 6 + 2\sqrt{13}$ см.

Теперь находим радиус вписанного шара $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{6 + 2\sqrt{13}} = \frac{12}{3 + \sqrt{13}}$ см.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{13})$:

$r = \frac{12(3 - \sqrt{13})}{(3 + \sqrt{13})(3 - \sqrt{13})} = \frac{12(3 - \sqrt{13})}{3^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{12(3 - \sqrt{13})}{9 - 13} = \frac{12(3 - \sqrt{13})}{-4} = -3(3 - \sqrt{13}) = 3(\sqrt{13} - 3)$ см.

Ответ: $3(\sqrt{13} - 3)$ см.