Номер 302, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

302. Два круга радиусом $R$ каждый расположены на плоскости так, что окружность одного проходит через центр другого. Определите площадь общей части кругов.

Пусть центры двух кругов находятся в точках $O_1$ и $O_2$. Радиус каждого круга равен $R$.

По условию задачи, окружность одного круга проходит через центр другого. Это означает, что расстояние между центрами кругов равно радиусу: $|O_1O_2| = R$.

Площадь общей части кругов (фигура, похожая на линзу) симметрична. Ее можно представить как сумму площадей двух одинаковых круговых сегментов. Найдем площадь одного такого сегмента, например, сегмента первого круга.

Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой.

Пусть $A$ и $B$ — точки пересечения окружностей. Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1O_2$.

Сторона $O_1A$ — это радиус первого круга, $|O_1A| = R$.

Сторона $O_2A$ — это радиус второго круга, $|O_2A| = R$.

Сторона $O_1O_2$ — это расстояние между центрами, $|O_1O_2| = R$.

Следовательно, треугольник $\triangle AO_1O_2$ является равносторонним со стороной $R$. Все его углы равны $60^\circ$.

Аналогично, треугольник $\triangle BO_1O_2$ также является равносторонним.

Центральный угол сектора $AO_1B$ в первом круге равен сумме углов $\angle AO_1O_2$ и $\angle BO_1O_2$:

$\alpha = \angle AO_1B = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Для вычисления площади сектора переведем угол в радианы: $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ рад.

Площадь сектора $AO_1B$ вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{1}{2}R^2\alpha$:

$S_{сектор} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi R^2}{3}$.

Теперь найдем площадь треугольника $\triangle AO_1B$. Его площадь можно найти по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S_{\triangle AO_1B} = \frac{1}{2} |O_1A| \cdot |O_1B| \cdot \sin(\angle AO_1B) = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(120^\circ)$.

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{\triangle AO_1B} = \frac{1}{2}R^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}R^2}{4}$.

Площадь одного кругового сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:

$S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{\triangle AO_1B} = \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}R^2}{4}$.

Поскольку общая часть состоит из двух таких идентичных сегментов (один от первого круга, другой — от второго), общая площадь $S$ равна удвоенной площади одного сегмента:

$S = 2 \cdot S_{сегмент} = 2 \left( \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}R^2}{4} \right) = \frac{2\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}R^2}{2}$.

Вынесем $R^2$ за скобки для более компактной записи:

$S = R^2 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Ответ: $S = R^2 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.