Номер 303, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

303. Дан круг радиусом 1 и вписанный угол $ABC$, равный $60^{\circ}$ (рис. 243). Найдите наибольшее значение площади закрашенной фигуры.

Puc. 243

Площадь закрашенной фигуры $S$ складывается из площади треугольника $ABC$ и площади сегмента круга, отсекаемого хордой $AC$.

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\text{сегмента } AC}$

Найдем сначала площадь сегмента $AC$. Величина вписанного угла $\angle ABC$ равна $60^\circ$. Этот угол опирается на дугу $AC$. Центральный угол $\angle AOC$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного:

$\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Площадь сегмента равна разности площадей сектора $OAC$ и треугольника $OAC$. Радиус круга $R=1$.

Площадь сектора $OAC$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{сектор OAC}} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \angle AOC = \frac{\pi \cdot 1^2}{360^\circ} \cdot 120^\circ = \frac{\pi}{3}$

Площадь треугольника $OAC$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} OA \cdot OC \cdot \sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Таким образом, площадь сегмента $AC$ постоянна и равна:

$S_{\text{сегмента } AC} = S_{\text{сектор OAC}} - S_{\triangle OAC} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Теперь рассмотрим площадь треугольника $ABC$. Чтобы общая площадь $S$ была максимальной, необходимо, чтобы площадь треугольника $S_{\triangle ABC}$ была максимальной, так как площадь сегмента является константой.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_B$, где $h_B$ – высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$.

Длину хорды $AC$ найдем по теореме косинусов для треугольника $OAC$:

$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Длина хорды $AC$ постоянна. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ максимальна, когда максимальна высота $h_B$. Точка $B$ находится на окружности. Высота $h_B$ будет максимальной, когда точка $B$ будет наиболее удалена от хорды $AC$. Это происходит, когда $B$ является серединой большей дуги $AC$. В этом случае треугольник $ABC$ является равнобедренным с $AB=BC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, имеем:

$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$

$2\angle BAC + 60^\circ = 180^\circ \implies 2\angle BAC = 120^\circ \implies \angle BAC = 60^\circ$

Следовательно, все углы треугольника $ABC$ равны $60^\circ$, и он является равносторонним. Все его стороны равны $AC = \sqrt{3}$.

Максимальная площадь треугольника $ABC$ равна площади равностороннего треугольника со стороной $\sqrt{3}$:

$S_{\triangle ABC, \text{max}} = \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Теперь найдем наибольшее значение площади закрашенной фигуры, сложив максимальную площадь треугольника и площадь сегмента:

$S_{\text{max}} = S_{\triangle ABC, \text{max}} + S_{\text{сегмента } AC} = \frac{3\sqrt{3}}{4} + \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$