Номер 298, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

298. Определите площадь сегмента окружности радиусом $R$ с дугой, равной $\alpha$, если:

a) $\alpha = 60^\circ$;

б) $\alpha = 270^\circ$.

Для определения площади сегмента окружности используется формула, которая выводится из разности площади кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой, стягивающей дугу.

Площадь кругового сектора с центральным углом $ \alpha $ (в градусах) и радиусом $ R $ вычисляется по формуле:

$ S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} $

Площадь треугольника, стороны которого являются двумя радиусами и хордой, вычисляется как:

$ S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) $

Площадь сегмента $ S_{сегмента} $ — это площадь сектора минус площадь треугольника:

$ S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) $

Эту формулу можно записать в более удобном виде, вынеся $ R^2 $ за скобки:

$ S_{сегмента} = R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{360} - \frac{\sin(\alpha)}{2} \right) $

Эта формула является универсальной и работает для любого угла $ \alpha $, в том числе для углов, превышающих $ 180^{\circ} $ (в этом случае $ \sin(\alpha) $ будет отрицательным, и вычитание превратится в сложение, что корректно).

а) α = 60°;

Подставим $ \alpha = 60^{\circ} $ в универсальную формулу. Нам понадобится значение синуса этого угла:

$ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь вычислим площадь:

$ S_{сегмента} = R^2 \left( \frac{\pi \cdot 60}{360} - \frac{\sin(60^{\circ})}{2} \right) = R^2 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}/2}{2} \right) = R^2 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) $

Чтобы упростить выражение, приведем дроби в скобках к общему знаменателю 12:

$ S_{сегмента} = R^2 \left( \frac{2\pi}{12} - \frac{3\sqrt{3}}{12} \right) = \frac{R^2(2\pi - 3\sqrt{3})}{12} $

Ответ: $ \frac{R^2(2\pi - 3\sqrt{3})}{12} $.

б) α = 270°.

Подставим $ \alpha = 270^{\circ} $ в ту же формулу. Значение синуса для этого угла:

$ \sin(270^{\circ}) = -1 $

Вычисляем площадь:

$ S_{сегмента} = R^2 \left( \frac{\pi \cdot 270}{360} - \frac{\sin(270^{\circ})}{2} \right) = R^2 \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{-1}{2} \right) = R^2 \left( \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) $

Для наглядности можно рассмотреть этот случай иначе. Сегмент с дугой $ 270^{\circ} $ является "большим", то есть он занимает большую часть круга. Его площадь можно найти как сумму площади сектора с углом $ 270^{\circ} $ и площади треугольника, образованного хордой и радиусами.

Площадь сектора: $ S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \cdot 270}{360} = \frac{3\pi R^2}{4} $.

Площадь треугольника можно найти, используя центральный угол дополнительного "малого" сегмента, который равен $ 360^{\circ} - 270^{\circ} = 90^{\circ} $. Площадь этого треугольника равна:

$ S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} R^2 \cdot 1 = \frac{R^2}{2} $.

Складывая площади сектора и треугольника, получаем общую площадь сегмента:

$ S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{треугольника} = \frac{3\pi R^2}{4} + \frac{R^2}{2} = R^2 \left( \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) $

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ R^2 \left( \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) $.