Номер 294, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

294. Найдите отношение площадей вписанного и описанного кругов:

а) для правильного треугольника;

б) для правильного шестиугольника.

а) для правильного треугольника

Обозначим радиус вписанного круга как $r$, а радиус описанного круга как $R$. Площадь вписанного круга $S_{впис} = \pi r^2$, а площадь описанного круга $S_{опис} = \pi R^2$. Искомое отношение площадей равно:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = (\frac{r}{R})^2$

Для правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ центры вписанного и описанного кругов совпадают и находятся в точке пересечения медиан, высот и биссектрис. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Радиус описанного круга $R$ равен $\frac{2}{3}$ высоты:

$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Радиус вписанного круга $r$ равен $\frac{1}{3}$ высоты:

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Теперь найдем отношение радиусов $r$ и $R$:

$\frac{r}{R} = \frac{a\sqrt{3}/6}{a\sqrt{3}/3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Таким образом, для правильного треугольника радиус описанного круга в два раза больше радиуса вписанного круга ($R = 2r$).

Теперь можем найти искомое отношение площадей:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = (\frac{r}{R})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Ответ: $1/4$.

б) для правильного шестиугольника

Аналогично пункту а), нам нужно найти отношение $(\frac{r}{R})^2$ для правильного шестиугольника.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$.

Радиус описанного круга $R$ равен расстоянию от центра до вершины шестиугольника, что совпадает со стороной одного из этих равносторонних треугольников. Следовательно:

$R = a$

Радиус вписанного круга $r$ является апофемой шестиугольника, то есть высотой одного из равносторонних треугольников, из которых он состоит. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:

$r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем отношение радиусов $r$ и $R$:

$\frac{r}{R} = \frac{a \frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь вычислим отношение площадей:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = (\frac{r}{R})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Ответ: $3/4$.