Номер 331, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

331. Пользуясь свойствами действий над векторами, упростите выражение:

а) $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}$;

б) $(\vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BD}) - (\vec{KD} - \vec{KA})$.

а) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{MC}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами сложения и вычитания векторов.

1. Применим правило треугольника (правило Шаля) для суммы первых двух векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. Согласно этому правилу, если начало второго вектора совпадает с концом первого, их сумма — это вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MC}$

3. Воспользуемся свойством вычитания векторов. Вычитание вектора $\overrightarrow{MC}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\overrightarrow{CM}$:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} + (-\overrightarrow{MC}) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$

4. Снова применим правило треугольника к сумме $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до вектора $\overrightarrow{AM}$.

Ответ: $\overrightarrow{AM}$.

б) $(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow{KD} - \overrightarrow{KA})$

Упростим каждую из скобок по отдельности, используя свойства действий над векторами.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.

Используя коммутативное свойство сложения векторов (от перестановки слагаемых сумма не меняется), переставим слагаемые для удобного применения правила треугольника:

$\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$

Теперь последовательно сложим векторы, применяя правило треугольника:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$

Подставим результат обратно в выражение:

$(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$

И снова по правилу треугольника:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$

Итак, значение выражения в первой скобке равно $\overrightarrow{AD}$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $\overrightarrow{KD} - \overrightarrow{KA}$.

По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало, разность $\overrightarrow{KD} - \overrightarrow{KA}$ есть вектор, начало которого находится в конце вычитаемого (точка A), а конец — в конце уменьшаемого (точка D). То есть:

$\overrightarrow{KD} - \overrightarrow{KA} = \overrightarrow{AD}$

Альтернативно, можно представить вычитание как сложение с противоположным вектором:

$\overrightarrow{KD} - \overrightarrow{KA} = \overrightarrow{KD} + (-\overrightarrow{KA}) = \overrightarrow{KD} + \overrightarrow{AK}$

Переставив слагаемые, получим: $\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KD}$. По правилу треугольника, эта сумма равна $\overrightarrow{AD}$.

Итак, значение выражения во второй скобке также равно $\overrightarrow{AD}$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow{KD} - \overrightarrow{KA}) = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD}$

Разность одинаковых векторов равна нулевому вектору:

$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$.