Номер 337, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

337. M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что:

a) $ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0} $;

б) $ \vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC}) $.

a) Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$. По правилу сложения векторов для медианы треугольника $MBC$, проведенной из вершины $M$ к стороне $BC$, имеем: $\vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{MA_1}$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:
$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{MA} + 2\vec{MA_1}$.
Точка $M$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$. По свойству медиан, точка $M$ делит медиану $AA_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$, то есть $AM : MA_1 = 2:1$.
Отсюда следует, что длина вектора $\vec{MA}$ в два раза больше длины вектора $\vec{MA_1}$. Так как векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны (от точки $M$ к $A$ и от точки $M$ к $A_1$ соответственно), то их можно связать соотношением: $\vec{MA} = -2\vec{MA_1}$.
Подставим это соотношение в наше выражение:
$\vec{MA} + 2\vec{MA_1} = -2\vec{MA_1} + 2\vec{MA_1} = \vec{0}$.
Таким образом, доказываемое равенство верно.
Ответ: равенство $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$ доказано.

б) Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$. Выразим вектор медианы $\vec{AA_1}$ через векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
По правилу треугольника для сложения векторов: $\vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{BA_1}$.
Поскольку $A_1$ — середина $BC$, то $\vec{BA_1} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
В свою очередь, вектор $\vec{BC}$ можно представить как разность векторов: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
Тогда $\vec{BA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$.
Подставим это в выражение для $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.
Точка пересечения медиан $M$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AM:MA_1 = 2:1$. Это значит, что вектор $\vec{AM}$ сонаправлен с вектором $\vec{AA_1}$ и его длина составляет $\frac{2}{3}$ от длины вектора $\vec{AA_1}$. Следовательно, $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AA_1}$.
Теперь подставим в это равенство полученное выражение для $\vec{AA_1}$:
$\vec{AM} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC})$.
Таким образом, доказываемое равенство верно.
Ответ: равенство $\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC})$ доказано.