Номер 341, страница 181 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

341. $A_1A_2A_3A_4A_5$ — правильный многоугольник, $O$ — его центр. Докажите, что $\vec{OA_1} + \vec{OA_2} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4} + \vec{OA_5} = \vec{0}$.

Пусть дана векторная сумма $\vec{S} = \vec{OA_1} + \vec{OA_2} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4} + \vec{OA_5}$. Нам нужно доказать, что $\vec{S} = \vec{0}$.

Поскольку $A_1A_2A_3A_4A_5$ — правильный пятиугольник, его центр $O$ является центром симметрии. В частности, многоугольник переходит сам в себя при повороте вокруг центра $O$ на угол, кратный $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Рассмотрим поворот всей системы векторов на угол $72^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $O$. При таком повороте каждая вершина многоугольника переходит в следующую:

$A_1 \rightarrow A_2$, $A_2 \rightarrow A_3$, $A_3 \rightarrow A_4$, $A_4 \rightarrow A_5$, $A_5 \rightarrow A_1$.

Соответственно, радиус-векторы, проведенные из центра к вершинам, также переходят друг в друга:

$\vec{OA_1}$ переходит в $\vec{OA_2}$,
$\vec{OA_2}$ переходит в $\vec{OA_3}$,
$\vec{OA_3}$ переходит в $\vec{OA_4}$,
$\vec{OA_4}$ переходит в $\vec{OA_5}$,
$\vec{OA_5}$ переходит в $\vec{OA_1}$.

Посмотрим, как при этом преобразовании изменится векторная сумма $\vec{S}$. Обозначим новый вектор, полученный в результате поворота вектора $\vec{S}$, как $\vec{S'}$.

$\vec{S'} = \text{Поворот}_{72^\circ}(\vec{S}) = \text{Поворот}_{72^\circ}(\vec{OA_1} + \vec{OA_2} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4} + \vec{OA_5})$.

Поскольку операция поворота является линейной, ее можно применить к каждому слагаемому отдельно:

$\vec{S'} = \text{Поворот}_{72^\circ}(\vec{OA_1}) + \text{Поворот}_{72^\circ}(\vec{OA_2}) + \text{Поворот}_{72^\circ}(\vec{OA_3}) + \text{Поворот}_{72^\circ}(\vec{OA_4}) + \text{Поворот}_{72^\circ}(\vec{OA_5})$.

Подставив преобразованные векторы, получим:

$\vec{S'} = \vec{OA_2} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4} + \vec{OA_5} + \vec{OA_1}$.

Так как сложение векторов коммутативно (не зависит от порядка слагаемых), мы можем переставить слагаемые:

$\vec{S'} = \vec{OA_1} + \vec{OA_2} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4} + \vec{OA_5} = \vec{S}$.

Таким образом, мы получили, что после поворота на угол $72^\circ$ вектор $\vec{S}$ переходит сам в себя ($\vec{S'} = \vec{S}$). Единственный вектор, который не изменяется при повороте на угол, не кратный $360^\circ$, — это нулевой вектор.

Поскольку $72^\circ$ не является кратным $360^\circ$, из этого следует, что $\vec{S}$ должен быть нулевым вектором: $\vec{S} = \vec{0}$.

Следовательно, $\vec{OA_1} + \vec{OA_2} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4} + \vec{OA_5} = \vec{0}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\vec{OA_1} + \vec{OA_2} + \vec{OA_3} + \vec{OA_4} + \vec{OA_5} = \vec{0}$.