Номер 347, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

347. а) Докажите, что векторы $\vec{a}(4; -8)$ и $\vec{b}(1; -2)$ сонаправленные.

б) Докажите, что векторы $\vec{c}(-1; 2)$ и $\vec{d}(6; -12)$ противоположно направленные.

а)

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Векторы $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ сонаправлены, если существует такое число $k > 0$, что $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$. Это означает, что должны выполняться равенства $x_1 = k \cdot x_2$ и $y_1 = k \cdot y_2$.
Даны векторы $\vec{a}(4; -8)$ и $\vec{b}(1; -2)$. Проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{a} = k\vec{b}$.
Запишем соответствующую систему уравнений для координат:
$4 = k \cdot 1$
$-8 = k \cdot (-2)$
Из первого уравнения находим, что $k = 4$.
Подставим это значение во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$-8 = 4 \cdot (-2)$
$-8 = -8$
Равенство верное. Мы нашли коэффициент пропорциональности $k=4$. Поскольку $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправленные.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Векторы $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ противоположно направлены, если существует такое число $k < 0$, что $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$.
Даны векторы $\vec{c}(-1; 2)$ и $\vec{d}(6; -12)$. Проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{d} = k\vec{c}$.
Запишем систему уравнений для координат:
$6 = k \cdot (-1)$
$-12 = k \cdot 2$
Из первого уравнения находим, что $k = -6$.
Подставим это значение во второе уравнение для проверки:
$-12 = (-6) \cdot 2$
$-12 = -12$
Равенство верное. Мы нашли коэффициент пропорциональности $k=-6$. Поскольку $k < 0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ противоположно направленные.
Ответ: Что и требовалось доказать.