Тест 2, страница 192 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Не строя векторы $ \vec{a}(-3; 4) $, $ \vec{b}(6; 8) $, $ \vec{c}(-8; 6) $, $ \vec{d}(3; 4) $, укажите среди них:

а) коллинеарные векторы;

б) перпендикулярные векторы.

а) коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, или, что эквивалентно (при ненулевых координатах), выполняется равенство $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$.
Проверим все пары данных векторов: $\vec{a}(-3; 4)$, $\vec{b}(6; 8)$, $\vec{c}(-8; 6)$, $\vec{d}(3; 4)$.

• Проверка $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\frac{6}{-3} = -2$, $\frac{8}{4} = 2$. Отношения не равны ($-2 \neq 2$), векторы не коллинеарны.
• Проверка $\vec{a}$ и $\vec{c}$: $\frac{-8}{-3} = \frac{8}{3}$, $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Отношения не равны, векторы не коллинеарны.
• Проверка $\vec{a}$ и $\vec{d}$: $\frac{3}{-3} = -1$, $\frac{4}{4} = 1$. Отношения не равны, векторы не коллинеарны.
• Проверка $\vec{b}$ и $\vec{d}$: $\frac{6}{3} = 2$, $\frac{8}{4} = 2$. Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны. Можно убедиться, что $\vec{b} = 2\vec{d}$.

Проверка остальных пар не требуется, так как коллинеарность — это отношение эквивалентности, и мы уже сгруппировали все векторы. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны ни друг другу, ни найденной паре.
Ответ: коллинеарными являются векторы $\vec{b}(6; 8)$ и $\vec{d}(3; 4)$.

б) перпендикулярные векторы
Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.
Вычислим попарно скалярные произведения для данных векторов:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 6 + 4 \cdot 8 = -18 + 32 = 14 \neq 0$.
• $\vec{a} \cdot \vec{c} = (-3) \cdot (-8) + 4 \cdot 6 = 24 + 24 = 48 \neq 0$.
• $\vec{a} \cdot \vec{d} = (-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 = -9 + 16 = 7 \neq 0$.
• $\vec{b} \cdot \vec{c} = 6 \cdot (-8) + 8 \cdot 6 = -48 + 48 = 0$. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.
• $\vec{b} \cdot \vec{d} = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 = 18 + 32 = 50 \neq 0$. (Они коллинеарны, поэтому не могут быть перпендикулярными).
• $\vec{c} \cdot \vec{d} = (-8) \cdot 3 + 6 \cdot 4 = -24 + 24 = 0$. Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ перпендикулярны.

Мы нашли две пары перпендикулярных векторов.
Ответ: перпендикулярными являются пары векторов $\vec{b}(6; 8)$ и $\vec{c}(-8; 6)$, а также $\vec{c}(-8; 6)$ и $\vec{d}(3; 4)$.