Номер 360, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

360. В равностороннем треугольнике ABC со стороной, равной 4, проведена биссектриса AK. Найдите скалярное произведение векторов:

a) $\vec{AB} \cdot \vec{AK}$;

б) $\vec{BC} \cdot \vec{AK}$;

в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;

г) $\vec{CK} \cdot \vec{BA}$.

По условию, в равностороннем треугольнике $ABC$ длина стороны равна 4. Это означает, что длины векторов, совпадающих со сторонами, равны: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = 4$. Все внутренние углы треугольника равны $60^\circ$.

Проведена биссектриса $AK$. В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, является также медианой и высотой.

1. Так как $AK$ — медиана, точка $K$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $|\vec{CK}| = \frac{1}{2} |\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

2. Так как $AK$ — высота, она перпендикулярна стороне $BC$ ($AK \perp BC$). Это означает, что угол между векторами $\vec{AK}$ и $\vec{BC}$ равен $90^\circ$.

3. Так как $AK$ — биссектриса угла $\angle A$, то угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AK}$ равен $\angle BAK = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

4. Длину вектора $\vec{AK}$ найдем из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора: $|\vec{AK}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 - |\vec{BK}|^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами.

а) $\vec{AB} \cdot \vec{AK}$

Длины векторов: $|\vec{AB}| = 4$, $|\vec{AK}| = 2\sqrt{3}$. Угол между ними $\alpha = \angle BAK = 30^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AK} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AK}| \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

б) $\vec{BC} \cdot \vec{AK}$

Длины векторов: $|\vec{BC}| = 4$, $|\vec{AK}| = 2\sqrt{3}$. Так как $AK \perp BC$, угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AK}$ равен $90^\circ$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AK} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{AK}| \cdot \cos(90^\circ) = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$

Длины векторов: $|\vec{AB}| = 4$, $|\vec{BC}| = 4$. Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ (исходящими из одной точки $B$) равен $\angle ABC = 60^\circ$. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$, поэтому угол $\alpha$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 4 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -8$.

Ответ: -8

г) $\vec{CK} \cdot \vec{BA}$

Длины векторов: $|\vec{CK}| = 2$, $|\vec{BA}| = 4$. Вектор $\vec{CK}$ направлен вдоль стороны $CB$, то есть сонаправлен с вектором $\vec{CB}$. Угол между векторами $\vec{CK}$ и $\vec{BA}$ равен углу между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$. Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ равен $\angle ABC = 60^\circ$. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, поэтому угол $\alpha$ между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{CK} \cdot \vec{BA} = |\vec{CK}| \cdot |\vec{BA}| \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$.

Ответ: -4