Номер 358, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

358. a) Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=2,5$, $|\vec{b}|=4\sqrt{3}$, $\angle(\vec{a};\vec{b})=30^\circ$. Найдите $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

б) Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $\angle(\vec{a};\vec{b})=45^\circ$, $\vec{a}\cdot\vec{b}=6$. Найдите $|\vec{b}|$.

а)

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}; \vec{b}))$,

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\angle(\vec{a}; \vec{b})$ — угол между ними.

Из условия задачи нам даны следующие значения:

$|\vec{a}| = 2,5$,

$|\vec{b}| = 4\sqrt{3}$,

$\angle(\vec{a}; \vec{b}) = 30^{\circ}$.

Косинус угла $30^{\circ}$ равен $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2,5 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выполним вычисления:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2,5 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10 \cdot \frac{3}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15.

б)

Мы снова используем формулу скалярного произведения векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}; \vec{b}))$.

Нам даны:

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$,

$\angle(\vec{a}; \vec{b}) = 45^{\circ}$,

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$.

Требуется найти модуль вектора $\vec{b}$, то есть $|\vec{b}|$.

Выразим $|\vec{b}|$ из формулы скалярного произведения:

$|\vec{b}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}; \vec{b}))}$.

Косинус угла $45^{\circ}$ равен $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения $|\vec{b}|$:

$|\vec{b}| = \frac{6}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Рассчитаем значение в знаменателе:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, получаем:

$|\vec{b}| = \frac{6}{1} = 6$.

Ответ: 6.