Номер 362, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

362. a) Даны векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, $|\vec{m}|=2$, $|\vec{n}|=1$, $\angle(\vec{m};\vec{n})=60^\circ$. Най-дите $|\vec{m}+2\vec{n}|$.

б) Даны векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, $|\vec{m}|=3$, $|\vec{n}|=5$, $\angle(\vec{m};\vec{n})=120^\circ$. Най-дите $|2\vec{m}-\vec{n}|$.

а) Чтобы найти модуль (длину) вектора $|\vec{m} + 2\vec{n}|$, воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен скалярному произведению этого вектора на самого себя: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.
Возведем искомый модуль в квадрат:
$|\vec{m} + 2\vec{n}|^2 = (\vec{m} + 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n})$
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$(\vec{m} + 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} + \vec{m} \cdot (2\vec{n}) + (2\vec{n}) \cdot \vec{m} + (2\vec{n}) \cdot (2\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{n}|^2$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ по формуле $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos(\angle(\vec{m}; \vec{n}))$.
Подставим данные из условия: $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 1$, $\angle(\vec{m}; \vec{n}) = 60^\circ$.
$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Теперь подставим все значения в выражение для квадрата модуля:
$|\vec{m} + 2\vec{n}|^2 = |\vec{m}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{n}|^2 = 2^2 + 4(1) + 4(1^2) = 4 + 4 + 4 = 12$.
Чтобы найти модуль, извлечем квадратный корень:
$|\vec{m} + 2\vec{n}| = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

б) Аналогично пункту а), найдем квадрат модуля вектора $|2\vec{m} - \vec{n}|$:
$|2\vec{m} - \vec{n}|^2 = (2\vec{m} - \vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n})$
Раскроем скобки:
$(2\vec{m} - \vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = (2\vec{m}) \cdot (2\vec{m}) - (2\vec{m}) \cdot \vec{n} - \vec{n} \cdot (2\vec{m}) + \vec{n} \cdot \vec{n} = 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$.
Подставим данные из условия: $|\vec{m}| = 3$, $|\vec{n}| = 5$, $\angle(\vec{m}; \vec{n}) = 120^\circ$.
$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos(\angle(\vec{m}; \vec{n})) = 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) = 15 \cdot (-\frac{1}{2}) = -7.5$.
Теперь подставим все значения в выражение для квадрата модуля:
$|2\vec{m} - \vec{n}|^2 = 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 = 4(3^2) - 4(-7.5) + 5^2 = 4 \cdot 9 + 30 + 25 = 36 + 30 + 25 = 91$.
Извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль:
$|2\vec{m} - \vec{n}| = \sqrt{91}$.
Ответ: $\sqrt{91}$.