Номер 367, страница 194 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

367. Докажите, что площадь треугольника ABC можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2 \cdot |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$.

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними. Применим эту формулу к сторонам $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Длины сторон $AB$ и $AC$ равны модулям векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ соответственно. Пусть $\alpha$ — угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, который также является углом $\angle A$ треугольника.

Таким образом, формула для площади принимает вид:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \sin(\alpha)$

Теперь преобразуем правую часть формулы, которую требуется доказать. Рассмотрим выражение под знаком корня:

$|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2$

Согласно определению скалярного произведения векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$

Подставим это выражение в подкоренное выражение:

$|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 - (|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha))^2$

Раскроем скобки и вынесем за них общий множитель $|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2$:

$|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 - |\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 \cos^2(\alpha) = |\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 (1 - \cos^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Тогда выражение преобразуется к виду:

$|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 \sin^2(\alpha)$

Теперь подставим полученный результат обратно в доказываемую формулу:

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 \sin^2(\alpha)} = \frac{1}{2} \sqrt{(|\vec{AB}| |\vec{AC}| \sin(\alpha))^2}$

Поскольку длины векторов $|\vec{AB}|$ и $|\vec{AC}|$ являются неотрицательными величинами, а угол $\alpha$ в треугольнике находится в диапазоне $(0, \pi)$, то $\sin(\alpha)$ также является положительной величиной. Следовательно, мы можем извлечь корень:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \sin(\alpha)$

Полученное выражение является известной формулой площади треугольника. Таким образом, мы доказали, что формула $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2 |\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$ верна.

Ответ: Утверждение доказано.