Номер 372, страница 197 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

372. Пусть дан прямоугольник $ABCD$ и произвольная точка $M$ плоскости. Докажите, что $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат.

Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат $(0, 0)$, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими: $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $D(0, b)$ и $C(a, b)$.

Пусть $M$ — произвольная точка плоскости с координатами $(x, y)$.

Теперь найдем квадраты расстояний от точки $M$ до каждой из вершин прямоугольника, используя формулу квадрата расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
$CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$DM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$

Теперь составим и вычислим суммы, указанные в доказываемом равенстве.

Найдем сумму квадратов расстояний до противоположных вершин $A$ и $C$:
$AM^2 + CM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2)$
Сгруппировав слагаемые, получим:
$AM^2 + CM^2 = (x^2 + (x-a)^2) + (y^2 + (y-b)^2)$

Теперь найдем сумму квадратов расстояний до другой пары противоположных вершин $B$ и $D$:
$BM^2 + DM^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2)$
Сгруппировав слагаемые, получим:
$BM^2 + DM^2 = ((x-a)^2 + x^2) + (y^2 + (y-b)^2)$

Сравнивая полученные выражения для $AM^2 + CM^2$ и $BM^2 + DM^2$, мы видим, что они полностью совпадают.
$(x^2 + (x-a)^2) + (y^2 + (y-b)^2) = ((x-a)^2 + x^2) + (y^2 + (y-b)^2)$
Следовательно, $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ доказано.