Номер 374, страница 203 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

374. Докажите, что при симметрии относительно некоторой прямой — оси симметрии — треугольник переходит в равный ему треугольник.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ и некоторая прямая $l$, являющаяся осью симметрии. При симметрии относительно прямой $l$ вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ переходят в точки $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно. Таким образом, треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A'B'C'$. Необходимо доказать, что эти треугольники равны, то есть $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

Осевая симметрия является движением. По определению, движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Это означает, что для любых двух точек $M$ и $N$ и их образов $M'$ и $N'$, полученных в результате движения, расстояние между ними одинаково: $MN = M'N'$.

Так как осевая симметрия является движением, она сохраняет длины отрезков. Применим это свойство к сторонам треугольника $ABC$.

Сторона $AB$ исходного треугольника является отрезком, соединяющим вершины $A$ и $B$. Ее образом при симметрии является сторона $A'B'$ треугольника $A'B'C'$. Поскольку движение сохраняет расстояния, длина стороны $AB$ равна длине стороны $A'B'$, то есть $AB = A'B'$.

Аналогично, для двух других сторон получаем, что их длины также сохраняются: $BC = B'C'$ и $AC = A'C'$.

Таким образом, мы имеем два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, что и доказывает утверждение задачи.

Ответ:

Симметрия относительно прямой является движением. Движение по определению сохраняет расстояния между точками. Следовательно, при симметрии стороны исходного треугольника переходят в отрезки равной длины, которые являются сторонами нового треугольника. Таким образом, у исходного и нового треугольников соответствующие стороны равны ($AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $AC = A'C'$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны.