Номер 371, страница 197 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

371. Докажите координатно-векторным методом, что если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Введём векторы, соответствующие его смежным сторонам, выходящим из вершины $A$: $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Диагонали параллелограмма можно выразить через эти векторы. По правилу сложения векторов (правило параллелограмма), вектор диагонали $AC$ равен сумме векторов смежных сторон:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вектор второй диагонали, $BD$, можно найти как разность векторов, идущих из начала в концы этих векторов:
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.

По условию задачи, длины диагоналей равны, то есть $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$. Равенство длин также означает равенство их квадратов: $|\vec{AC}|^2 = |\vec{BD}|^2$.

Подставим векторные выражения для диагоналей:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2$.

Квадрат длины (модуля) вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя. Используя это свойство, раскроем обе части равенства:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})$
$\vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{a}$

Так как $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), перепишем уравнение:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$

Сократим одинаковые члены $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ в обеих частях уравнения:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Перенесём всё в одну сторону:
$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то есть $\vec{AB} \perp \vec{AD}$.

Это означает, что смежные стороны параллелограмма $AB$ и $AD$ перпендикулярны. Параллелограмм, у которого угол между смежными сторонами прямой, по определению является прямоугольником.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.