Номер 373, страница 203 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

373. Докажите, что при симметрии относительно некоторой точки — центра симметрии — треугольник переходит в равный ему треугольник.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ и точка $O$, являющаяся центром симметрии. При симметрии относительно точки $O$ каждая вершина треугольника $A, B, C$ переходит в симметричную ей точку $A', B', C'$. В результате образуется треугольник $A'B'C'$. Нам необходимо доказать, что $\triangle ABC$ равен $\triangle A'B'C'$ (то есть $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$).

По определению симметрии относительно точки, точка $O$ является серединой отрезков, соединяющих исходные точки с их образами. Таким образом, $O$ — середина отрезков $AA'$, $BB'$ и $CC'$. Из этого следует, что $AO = OA'$, $BO = OB'$ и $CO = OC'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. В этих треугольниках:

1. $AO = OA'$ по определению центральной симметрии.

2. $BO = OB'$ по определению центральной симметрии.

3. Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A'OB'$ как вертикальные углы.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB \cong \triangle A'OB'$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = A'B'$.

Аналогичным образом, рассматривая пару треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle B'OC'$, мы можем доказать, что $BC = B'C'$. Рассматривая пару треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle A'OC'$, мы доказываем, что $AC = A'C'$.

Таким образом, мы установили, что соответствующие стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ равны: $AB = A'B'$, $BC = B'C'$ и $AC = A'C'$.

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$. Это доказывает, что при симметрии относительно точки треугольник переходит в равный ему треугольник.

Ответ: Утверждение доказано.