Номер 368, страница 197 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

368. Докажите при помощи векторов, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции.

По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Это означает, что векторы, лежащие на этих основаниях, например, $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$, коллинеарны (параллельны).

Выразим вектор средней линии $\vec{MN}$ через другие векторы трапеции, используя правило многоугольника для сложения векторов. Сделаем это двумя способами:

1. Следуя по контуру $M \to A \to D \to N$: $ \vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN} $

2. Следуя по контуру $M \to B \to C \to N$: $ \vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN} $

Сложим эти два векторных равенства:

$ \vec{MN} + \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}) + (\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}) $

$ 2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DN} + \vec{CN}) $

Поскольку $M$ — середина отрезка $AB$, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ равны по модулю и противоположны по направлению ($\vec{MA} = -\vec{MB}$). Следовательно, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.

Аналогично, поскольку $N$ — середина отрезка $CD$, то вектор из $C$ в $N$ равен вектору из $N$ в $D$, то есть $\vec{CN} = \vec{ND}$. Вектор $\vec{DN}$ является противоположным вектору $\vec{ND}$, то есть $\vec{DN} = -\vec{ND}$. Отсюда следует, что $\vec{DN} = -\vec{CN}$, а их сумма равна нулевому вектору: $\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$.

Подставим полученные нулевые суммы в уравнение для $2\vec{MN}$:

$ 2\vec{MN} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0} $

$ 2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC} $

$ \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC}) $

Это векторное равенство доказывает оба утверждения теоремы.

Параллельность. Векторы оснований $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Сумма двух коллинеарных векторов есть вектор, коллинеарный им обоим. Умножение вектора на скаляр $\frac{1}{2}$ не меняет его направления. Следовательно, вектор $\vec{MN}$ коллинеарен векторам $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Это означает, что прямая $MN$ параллельна прямым $AD$ и $BC$. Таким образом, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Длина. Найдем модуль (длину) вектора $\vec{MN}$:

$ |\vec{MN}| = \left|\frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})\right| = \frac{1}{2}|\vec{AD} + \vec{BC}| $.

Поскольку векторы оснований $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (в стандартной трапеции они направлены в одну сторону), модуль их суммы равен сумме их модулей: $|\vec{AD} + \vec{BC}| = |\vec{AD}| + |\vec{BC}|$.

Следовательно, $ |\vec{MN}| = \frac{1}{2}(|\vec{AD}| + |\vec{BC}|) $.

Это означает, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.

Таким образом, оба утверждения доказаны.

Ответ: Утверждение доказано. Из векторного равенства $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$ следует, что средняя линия $MN$ трапеции параллельна основаниям $AD$ и $BC$, а ее длина равна их полусумме $|\vec{MN}| = \frac{1}{2}(|\vec{AD}| + |\vec{BC}|)$.