Номер 369, страница 197 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

369. Докажите при помощи векторов, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$.

Для доказательства утверждения используем векторный метод. Выберем произвольное начало отсчета $O$ и введем радиус-векторы вершин трапеции: $\vec{a}=\vec{OA}$, $\vec{b}=\vec{OB}$, $\vec{c}=\vec{OC}$, $\vec{d}=\vec{OD}$.

Поскольку точка является серединой отрезка, ее радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов концов отрезка. Таким образом, для радиус-векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ точек $M$ и $N$ имеем:

$\vec{m} = \vec{OM} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

$\vec{n} = \vec{ON} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

Теперь найдем вектор $\vec{MN}$, соответствующий отрезку, соединяющему середины диагоналей:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c})$.

Сгруппируем слагаемые в правой части так, чтобы выразить вектор $\vec{MN}$ через векторы оснований $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{d} - \vec{a}) - (\vec{c} - \vec{b}))$.

Учитывая, что $\vec{d} - \vec{a} = \vec{AD}$ и $\vec{c} - \vec{b} = \vec{BC}$, получаем ключевое соотношение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})$.

Из этого векторного равенства следуют оба доказываемых утверждения.

1. Доказательство параллельности. Векторы оснований $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны, поскольку $AD \parallel BC$. Следовательно, их разность $(\vec{AD} - \vec{BC})$ также является вектором, коллинеарным им. Так как вектор $\vec{MN}$ равен половине этого вектора (умножен на скаляр $\frac{1}{2}$), он тоже им коллинеарен. Таким образом, $\vec{MN} \parallel \vec{AD} \parallel \vec{BC}$. Это доказывает, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции.

2. Доказательство равенства длины. Найдем длину отрезка $MN$ как модуль вектора $\vec{MN}$:

$|\vec{MN}| = \left|\frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{BC})\right| = \frac{1}{2}|\vec{AD} - \vec{BC}|$.

Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и в обычной (несамопересекающейся) трапеции сонаправлены, модуль их векторной разности равен модулю разности их длин: $|\vec{AD} - \vec{BC}| = ||\vec{AD}| - |\vec{BC}||$. Подставляя это в формулу для длины, получаем:

$|\vec{MN}| = \frac{1}{2}||\vec{AD}| - |\vec{BC}||$.

Это означает, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна полуразности длин оснований трапеции. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение о том, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности, доказано.