Номер 365, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

365. Найдите угол между векторами:

а) $\vec{a}(6; 2)$, $\vec{b}(2; 4)$;

б) $\vec{c}(1; 2)$, $\vec{d}(1; -\frac{1}{2})$.

а)

Чтобы найти угол $\alpha$ между векторами, мы используем формулу для косинуса угла, которая связывает скалярное произведение векторов с их длинами (модулями). Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ формула выглядит так:

$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

где $ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 $ — это скалярное произведение векторов, а $ |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} $ и $ |\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} $ — это длины векторов.

Нам даны векторы $\vec{a}(6; 2)$ и $\vec{b}(2; 4)$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 12 + 8 = 20 $.

2. Вычислим длины (модули) каждого вектора:

$ |\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} $.

$ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $.

3. Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$ \cos(\alpha) = \frac{20}{2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{20}{4\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $.

Следовательно, $ \cos(\alpha) = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

4. Зная косинус угла, найдем сам угол $\alpha$:

$ \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ $.

Ответ: $45^\circ$.

б)

Нам даны векторы $\vec{c}(1; 2)$ и $\vec{d}(1; -\frac{1}{2})$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$ \vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - 1 = 0 $.

2. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны). Угол между перпендикулярными векторами равен $90^\circ$.

Убедимся, что векторы не являются нулевыми:

$ |\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \neq 0 $.

$ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \neq 0 $.

Так как векторы не нулевые, а их скалярное произведение равно 0, угол между ними составляет $90^\circ$.

Если продолжить вычисление по полной формуле, то получим:

$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| \cdot |\vec{d}|} = \frac{0}{\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = 0 $.

$ \alpha = \arccos(0) = 90^\circ $.

Ответ: $90^\circ$.