Номер 363, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

363. Докажите, что модуль скалярного произведения векторов меньше либо равен произведению модулей этих векторов: $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Для доказательства неравенства $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$, известного как неравенство Коши-Буняковского-Шварца, воспользуемся геометрическим определением скалярного произведения векторов.

По определению, скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их модулей (длин) на косинус угла $\theta$ между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$.

Если хотя бы один из векторов является нулевым (например, $\vec{a} = \vec{0}$), то его модуль равен нулю ($|\vec{a}| = 0$). В этом случае скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, и произведение модулей $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = 0 \cdot |\vec{b}| = 0$. Неравенство превращается в верное равенство $0 \le 0$.

Рассмотрим случай, когда оба вектора ненулевые. Возьмем модуль от обеих частей формулы скалярного произведения:

$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = | |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) |$.

Так как модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это неотрицательные числа, их можно вынести за знак модуля:

$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\cos(\theta)|$.

Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого угла $\theta$ выполняется неравенство:

$|\cos(\theta)| \le 1$.

Умножим обе части этого неравенства на положительное число $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$. Знак неравенства при этом не изменится:

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\cos(\theta)| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Подставляя в левую часть этого неравенства выражение $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$, полученное ранее, окончательно получаем:

$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Таким образом, утверждение доказано для всех случаев. Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $|\cos(\theta)| = 1$, то есть когда угол $\theta$ равен $0^\circ$ или $180^\circ$, что означает, что векторы коллинеарны.

Ответ: Неравенство $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ доказано с использованием определения скалярного произведения и свойства модуля косинуса.