Номер 359, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

359. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = 5$, гипотенуза $AB = 13$. Найдите:

a) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

б) $\vec{CB} \cdot \vec{AB}$.

По условию, в треугольнике $ABC$ гипотенуза — $AB$. Это означает, что угол $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Даны длины катета $AC=5$ и гипотенузы $AB=13$.

Используя теорему Пифагора, найдем длину второго катета $BC$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$.

Поскольку угол $C$ прямой, векторы, выходящие из этой вершины вдоль катетов, то есть векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, являются ортогональными (перпендикулярными). Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$.

Мы будем использовать это свойство для решения задачи.

а) Найдите $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Для вычисления скалярного произведения выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ через ортогональные векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Вектор $\vec{AC}$ противоположен вектору $\vec{CA}$, поэтому $\vec{AC} = -\vec{CA}$.

Вектор $\vec{AB}$ можно представить как разность векторов $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$ по правилу треугольника: $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (\vec{CB} - \vec{CA}) \cdot (-\vec{CA})$

Раскрывая скобки, получаем:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -(\vec{CB} \cdot \vec{CA}) + (\vec{CA} \cdot \vec{CA})$

Так как $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$, первое слагаемое равно нулю. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{CA} \cdot \vec{CA} = |\vec{CA}|^2 = |\vec{AC}|^2$.

Таким образом, получаем:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 + |\vec{AC}|^2 = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

б) Найдите $\vec{CB} \cdot \vec{AB}$

Используем тот же подход. Вектор $\vec{CB}$ является одним из наших базовых ортогональных векторов. Вектор $\vec{AB}$ мы уже выразили как $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{CB} \cdot \vec{AB} = \vec{CB} \cdot (\vec{CB} - \vec{CA})$

Раскрывая скобки, получаем:

$\vec{CB} \cdot \vec{AB} = (\vec{CB} \cdot \vec{CB}) - (\vec{CB} \cdot \vec{CA})$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{CB} \cdot \vec{CB} = |\vec{CB}|^2 = |\vec{BC}|^2$. А скалярное произведение ортогональных векторов $\vec{CB} \cdot \vec{CA}$ равно нулю.

Таким образом, получаем:

$\vec{CB} \cdot \vec{AB} = |\vec{BC}|^2 - 0 = 12^2 = 144$.

Ответ: 144