Номер 357, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

357. Докажите, что точки $A(4; 2)$, $B(-1; 3)$, $C(-6; 4)$ лежат на одной прямой.

Чтобы доказать, что точки $A(4; 2)$, $B(-1; 3)$ и $C(-6; 4)$ лежат на одной прямой, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Через уравнение прямой

Суть этого метода заключается в том, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две из данных точек (например, $A$ и $B$), а затем проверить, принадлежат ли координаты третьей точки ($C$) этой прямой.

1. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — смещение по оси $y$.

2. Подставим координаты точек $A(4; 2)$ и $B(-1; 3)$ в уравнение прямой, чтобы составить систему уравнений для нахождения $k$ и $b$:
$\begin{cases} 2 = k \cdot 4 + b \\ 3 = k \cdot (-1) + b \end{cases}$

3. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы найти $k$:
$2 - 3 = (4k + b) - (-k + b)$
$-1 = 4k + b + k - b$
$-1 = 5k$
$k = -\frac{1}{5}$

4. Подставим найденное значение $k$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $b$. Используем второе уравнение:
$3 = -(-\frac{1}{5}) + b$
$3 = \frac{1}{5} + b$
$b = 3 - \frac{1}{5} = \frac{15}{5} - \frac{1}{5} = \frac{14}{5}$

5. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, выглядит так: $y = -\frac{1}{5}x + \frac{14}{5}$.

6. Теперь проверим, лежит ли точка $C(-6; 4)$ на этой прямой. Для этого подставим её координаты $x = -6$ и $y = 4$ в уравнение:
$4 = -\frac{1}{5}(-6) + \frac{14}{5}$
$4 = \frac{6}{5} + \frac{14}{5}$
$4 = \frac{20}{5}$
$4 = 4$

Так как получилось верное равенство, точка $C$ лежит на прямой $AB$. Следовательно, все три точки лежат на одной прямой.

Ответ: что и требовалось доказать.

Способ 2: Через коллинеарность векторов

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, если векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора, соединяющего точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, равны $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
Для вектора $\vec{AB}$ с началом в $A(4; 2)$ и концом в $B(-1; 3)$:
$\vec{AB} = (-1 - 4; 3 - 2) = (-5; 1)$

Для вектора $\vec{AC}$ с началом в $A(4; 2)$ и концом в $C(-6; 4)$:
$\vec{AC} = (-6 - 4; 4 - 2) = (-10; 2)$

2. Проверим, коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Векторы коллинеарны, если существует такое число $\lambda$, что $\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{AB}$. Это равносильно пропорциональности их координат:
$\frac{-10}{-5} = \frac{2}{1}$
$2 = 2$

Координаты векторов пропорциональны (коэффициент пропорциональности $\lambda = 2$). Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ имеют общее начало в точке $A$ и коллинеарны, то точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Ответ: что и требовалось доказать.