Номер 375, страница 203 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

375. Докажите, что при движении угол преобразуется в равный ему угол.

Рассмотрим произвольный угол $\angle ABC$. Он образован двумя лучами, $BA$ и $BC$, выходящими из общей вершины $B$. Выберем на лучах $BA$ и $BC$ точки $A$ и $C$ соответственно, не совпадающие с вершиной $B$.

Пусть $f$ — это движение (изометрия), то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. При этом движении точки $A$, $B$ и $C$ переходят в точки $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно. То есть $A' = f(A)$, $B' = f(B)$, $C' = f(C)$.

Так как движение является преобразованием, которое переводит луч в луч, то луч $BA$ переходит в луч $B'A'$, а луч $BC$ — в луч $B'C'$. Эти лучи образуют новый угол $\angle A'B'C'$.

Докажем, что $\angle ABC = \angle A'B'C'$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$.

По определению движения, оно сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длины сторон треугольника $\triangle A'B'C'$ равны соответствующим длинам сторон треугольника $\triangle ABC$:
$A'B' = AB$
$B'C' = BC$
$A'C' = AC$

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS).

$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$

В равных треугольниках соответствующие углы равны. Углу $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$ соответствует угол $\angle A'B'C'$ в треугольнике $\triangle A'B'C'$. Следовательно, их величины равны.

$\angle ABC = \angle A'B'C'$

Таким образом, мы доказали, что любое движение преобразует угол в равный ему угол.

Ответ: Утверждение доказано.