Номер 378, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

378. Определите, в результате какого преобразования или комбинации преобразований фигура $F$ перешла в фигуру $F_1$ (рис. 312).

а) $F$

$F_1$

б) $F$

$F_1$

в) $F$

$F_1$

Рис. 312

а) Фигура $F_1$ конгруэнтна фигуре $F$. Заметим, что ориентация фигуры $F_1$ изменена по сравнению с $F$ — она как бы перевернута. Такое преобразование может быть центральной симметрией, то есть поворотом на $180^\circ$ вокруг некоторой точки (центра симметрии). Центр симметрии является серединой отрезков, соединяющих соответствующие точки фигур.
Введем систему координат, взяв за единицу измерения одну клетку сетки. Пусть вершина прямого угла фигуры $F$ находится в точке $A(2,2)$, тогда две другие вершины будут в точках $B(0,2)$ и $C(2,3)$. Соответствующие вершины фигуры $F_1$ будут $A_1(3,0)$, $B_1(5,0)$ и $C_1(3,-1)$.
Найдем середину отрезка, соединяющего вершины прямых углов $A$ и $A_1$:
$O_x = \frac{2+3}{2} = 2.5$; $O_y = \frac{2+0}{2} = 1$. Точка $O(2.5; 1)$.
Проверим, является ли эта точка серединой для других пар вершин. Середина отрезка $BB_1$:
$O_x = \frac{0+5}{2} = 2.5$; $O_y = \frac{2+0}{2} = 1$. Точка $O(2.5; 1)$.
Середина отрезка $CC_1$:
$O_x = \frac{2+3}{2} = 2.5$; $O_y = \frac{3+(-1)}{2} = 1$. Точка $O(2.5; 1)$.
Так как середины всех отрезков, соединяющих соответствующие вершины, совпадают, данное преобразование является центральной симметрией.
Ответ: Центральная симметрия (поворот на $180^\circ$) относительно точки, которая является серединой отрезков, соединяющих соответствующие вершины фигур.

б) Фигуры $F$ и $F_1$ конгруэнтны. Как и в предыдущем случае, фигура $F_1$ перевернута относительно $F$, что указывает на центральную симметрию (поворот на $180^\circ$).
Введем систему координат. Пусть вершина прямого угла фигуры $F$ находится в точке $A(3,2)$, тогда другие вершины — $B(1,2)$ и $C(3,3)$. Соответствующие им вершины фигуры $F_1$ будут $A_1(1,1)$, $B_1(3,1)$ и $C_1(1,0)$.
Найдем центр симметрии как середину отрезка $AA_1$, соединяющего вершины прямых углов:
$O_x = \frac{3+1}{2} = 2$; $O_y = \frac{2+1}{2} = 1.5$. Точка $O(2; 1.5)$.
Проверим для других пар вершин. Середина отрезка $BB_1$:
$O_x = \frac{1+3}{2} = 2$; $O_y = \frac{2+1}{2} = 1.5$. Точка $O(2; 1.5)$.
Середина отрезка $CC_1$:
$O_x = \frac{3+1}{2} = 2$; $O_y = \frac{3+0}{2} = 1.5$. Точка $O(2; 1.5)$.
Все середины совпадают.
Ответ: Центральная симметрия (поворот на $180^\circ$) относительно точки, которая является серединой отрезков, соединяющих соответствующие вершины фигур.

в) Фигуры $F$ и $F_1$ не являются конгруэнтными, так как у них разные размеры, следовательно, $F_1$ получена из $F$ не движением, а комбинацией преобразований, включающей изменение размеров.
Сравним размеры фигур. Горизонтальный катет у обеих фигур равен 2 клеткам. Вертикальный катет у фигуры $F$ равен 1 клетке, а у фигуры $F_1$ — 2 клеткам. Это означает, что произошло растяжение фигуры в вертикальном направлении.
Преобразование можно описать как комбинацию двух преобразований:
1. Параллельный перенос фигуры $F$. Перенесем фигуру $F$ вправо так, чтобы ее левая вершина нижнего катета совпала с левой вершиной нижнего катета фигуры $F_1$. Для этого нужен перенос на 3 клетки вправо, то есть на вектор $\vec{a} = (3, 0)$. В результате этого переноса мы получим промежуточную фигуру $F'$, конгруэнтную $F$.
2. Растяжение. Фигура $F'$ имеет вертикальный катет длиной 1, а фигура $F_1$ — длиной 2. Необходимо выполнить растяжение фигуры $F'$ от ее нижнего основания (прямой, содержащей горизонтальный катет) с коэффициентом 2. Это преобразование увеличит все вертикальные расстояния от этого основания в 2 раза, превращая фигуру $F'$ в фигуру $F_1$.
Ответ: Комбинация преобразований: параллельный перенос и растяжение в вертикальном направлении.